Impara Implementazione dei Limiti in Python

Prima di esplorare il comportamento visivo dei limiti, è necessario sapere come calcolarli direttamente utilizzando la libreria sympy. Ecco tre tipi comuni di limiti che incontrerai.

1. Limite Finito

Questo esempio mostra una funzione che si avvicina a un valore finito specifico quando $x \to 2$ .


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import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
f = (x**2 - 4) / (x - 2)

# Compute the limit as x approaches 2
limit_value = sp.limit(f, x, 2)
print("Limit of f(x) as x approaches 2:", limit_value)

2. Limite Non Esistente

In questo caso, la funzione si comporta in modo diverso da sinistra e da destra, quindi il limite non esiste.


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import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
f = (2 - x)

# Compute the limit as x approaches infinity and negative infinity
left_limit = sp.limit(f, x, -sp.oo)
right_limit = sp.limit(f, x, sp.oo)

print("Left-hand limit:", left_limit)
print("Right-hand limit:", right_limit)

3. Limite all'infinito

Questo esempio mostra una funzione che si avvicina a zero quando (x) cresce indefinitamente.


              12345678
            
import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
f = 1 / x

# Compute the limit as x approaches infinity
limit_value = sp.limit(f, x, sp.oo)
print("Limit of 1/x as x approaches infinity:", limit_value)

Questi brevi frammenti mostrano come utilizzare sympy.limit() per calcolare diversi tipi di limiti - finiti, indefiniti e infiniti - prima di analizzarli graficamente

Definizione delle funzioni

f_diff = (2 - x)  # Approaches 2 as x → -∞ and -∞ as x → +∞
f_same = 1 / x  # Approaches 0 as x → ±∞
f_special = sp.sin(x) / x  # Special limit sin(x)/x

f_diff: una semplice funzione lineare in cui i limiti destro e sinistro divergono;
f_same: la classica funzione reciproca, che tende allo stesso limite da entrambi i lati;
f_special: un limite ben noto in analisi matematica, che vale 1 per $x \to 0$ .

Gestione della divisione per zero

y_vals_same = [f_same.subs(x, val).evalf() if val != 0 else np.nan for val in x_vals]
y_vals_special = [f_special.subs(x, val).evalf() if val != 0 else 1 for val in x_vals]

La funzione f_same = 1/x presenta un problema in $x = 0$ (divisione per zero), quindi sostituiamo quel valore con NaN (Not a Number) per evitare errori;
Per f_special, sappiamo che $\lim_{\raisebox{-1pt}{$x \to 0$}}\frac{\raisebox{1pt}{$sin(x)$}}{\raisebox{-1pt}{$x$}} = 1$ , quindi assegniamo manualmente $1$ quando $x = 0$ .

Tracciamento delle asintoti orizzontali

axs[1].axhline(0, color='blue', linestyle='dashed', linewidth=2, label='y = 0 (horizontal asymptote)')
axs[2].axhline(1, color='red', linestyle='dashed', linewidth=2, label=r"$y = 1$ (horizontal asymptote)")

La funzione 1/x ha un asintoto orizzontale in $y = 0$ ;
La funzione sin(x)/x tende a $y = 1$ , quindi aggiungiamo una linea rossa tratteggiata per maggiore chiarezza visiva.

Tutto è chiaro?

Grazie per i tuoi commenti!

Sezione 3. Capitolo 2

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Chieda pure quello che desidera o provi una delle domande suggerite per iniziare la nostra conversazione

Suggested prompts:

Can you explain more about how to interpret the results of these limits?

What is the significance of horizontal asymptotes in these examples?

Could you provide more details about the special limit involving sin(x)/x?

Awesome!

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