Impara Implementazione dei Limiti in Python

Prima di esplorare il comportamento visivo dei limiti, è necessario sapere come calcolarli direttamente utilizzando la libreria sympy. Ecco tre tipi comuni di limiti che si possono incontrare.

1. Limite Finito

Questo esempio mostra una funzione che si avvicina a un valore finito specifico quando $x \to 2$ .


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import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
f = (x**2 - 4) / (x - 2)

# Compute the limit as x approaches 2
limit_value = sp.limit(f, x, 2)
print("Limit of f(x) as x approaches 2:", limit_value)

2. Limite Non Esistente

In questo caso, la funzione si comporta in modo diverso da sinistra e da destra, quindi il limite non esiste.


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import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
f = (2 - x)

# Compute the limit as x approaches infinity and negative infinity
left_limit = sp.limit(f, x, -sp.oo)
right_limit = sp.limit(f, x, sp.oo)

print("Left-hand limit:", left_limit)
print("Right-hand limit:", right_limit)

3. Limite all'infinito

Questo esempio mostra una funzione che tende a zero quando (x) cresce indefinitamente.


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import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
f = 1 / x

# Compute the limit as x approaches infinity
limit_value = sp.limit(f, x, sp.oo)
print("Limit of 1/x as x approaches infinity:", limit_value)

Questi brevi frammenti mostrano come utilizzare sympy.limit() per calcolare diversi tipi di limiti - finiti, indefiniti e infiniti - prima di analizzarli graficamente

Definizione delle funzioni

f_diff = (2 - x)  # Approaches +∞ as x → -∞ and -∞ as x → +∞
f_same = 1 / x  # Approaches 0 as x → ±∞
f_special = sp.sin(x) / x  # Special limit sin(x)/x

f_diff: funzione lineare semplice in cui i limiti destro e sinistro divergono;
f_same: la classica funzione reciproca, che tende allo stesso limite da entrambi i lati;
f_special: un limite ben noto in analisi matematica, che vale 1 per $x \to 0$ .

Gestione della divisione per zero

y_vals_same = [f_same.subs(x, val).evalf() if val != 0 else np.nan for val in x_vals]
y_vals_special = [f_special.subs(x, val).evalf() if val != 0 else 1 for val in x_vals]

La funzione f_same = 1/x presenta un problema in $x = 0$ (divisione per zero), quindi sostituiamo quel valore con NaN (Not a Number) per evitare errori;
Per f_special, sappiamo che $\lim_{\raisebox{-1pt}{$x \to 0$}}\frac{\raisebox{1pt}{$sin(x)$}}{\raisebox{-1pt}{$x$}} = 1$ , quindi assegniamo manualmente $1$ quando $x = 0$ .

Tracciamento delle asintoti orizzontali

axs[1].axhline(0, color='blue', linestyle='dashed', linewidth=2, label='y = 0 (horizontal asymptote)')
axs[2].axhline(1, color='red', linestyle='dashed', linewidth=2, label=r"$y = 1$ (horizontal asymptote)")

La funzione 1/x ha un asintoto orizzontale in $y = 0$ ;
La funzione sin(x)/x tende a $y = 1$ , quindi si aggiunge una linea rossa tratteggiata per maggiore chiarezza visiva.

Tutto è chiaro?

Grazie per i tuoi commenti!

Sezione 3. Capitolo 2

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