Impara Introduzione alle Serie

Definizione

Una serie è un'espressione matematica formata dalla somma dei termini di una successione. I tipi più comuni sono la serie aritmetica e la serie geometrica, che si differenziano per il modo in cui i loro termini progrediscono.

Serie aritmetica

Una serie aritmetica si forma quando la differenza tra termini consecutivi in una successione è costante.

2, 5, 8, 11, 14, ...; (\text{differenza comune}, d = 3)

La somma dei primi $n$ termini di una serie aritmetica è data da:

S_n = \frac{n}{2} \cdot (a + l)

Dove:

$n$ - numero di termini;
$a$ - primo termine;
$l$ - ultimo termine.

In alternativa, se l'ultimo termine $l$ non è noto:

S_n = \frac{n}{2} \cdot 2a + (n - 1) \cdot d

Esempio

Determinare la somma dei primi 10 termini della serie $2,5,8,...$

S_{10} = \frac{10}{2} \cdot (2 + (10 - 1) \cdot 3) = 5 \cdot (2 + 27) = 145

Serie Geometrica

Una serie geometrica si forma quando ogni termine della sequenza viene moltiplicato per un rapporto fisso per ottenere il termine successivo.

3,6,12,24,48,...;(\text{rapporto comune}, r=2)

La somma dei primi $n$ termini di una serie geometrica è data da:

S_n = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r},\ r \neq 1

Dove:

$a$ - primo termine;
$r$ - rapporto comune;
$n$ - numero di termini.

Se la serie è infinita e $|r|<1$ :

S = \frac{a}{1 - r}

Esempio:

Trovare la somma dei primi 4 termini della serie $3,6,12,24,...$

S_4 = 3 \cdot \frac{1-2^4}{1-2} = 3 \cdot \frac{1-16}{-1}=3 \cdot 15 = 45

Applicazioni nel Mondo Reale

Le serie aritmetiche e geometriche compaiono in molti contesti della data science:

Crescita della popolazione e modellizzazione delle risorse tramite progressioni geometriche;
Analisi finanziaria utilizzando calcoli di interesse composto;
Previsione dei ricavi su diversi periodi temporali;
Apprendimento automatico, dove le sommatorie si presentano in algoritmi come la discesa del gradiente.

Tutto è chiaro?

Grazie per i tuoi commenti!

Sezione 2. Capitolo 4

Chieda ad AI

Chieda pure quello che desidera o provi una delle domande suggerite per iniziare la nostra conversazione

Suggested prompts:

Can you explain the difference between arithmetic and geometric series in simpler terms?

Can you show more real-world examples where these series are used?

How do I know when to use an arithmetic series formula versus a geometric series formula?

Awesome!

Completion rate improved to 1.96

Scorri per mostrare il menu

Definizione

Serie aritmetica

Una serie aritmetica si forma quando la differenza tra termini consecutivi in una successione è costante.

2, 5, 8, 11, 14, ...; (\text{differenza comune}, d = 3)

La somma dei primi $n$ termini di una serie aritmetica è data da:

S_n = \frac{n}{2} \cdot (a + l)

Dove:

$n$ - numero di termini;
$a$ - primo termine;
$l$ - ultimo termine.

In alternativa, se l'ultimo termine $l$ non è noto:

S_n = \frac{n}{2} \cdot 2a + (n - 1) \cdot d

Esempio

Determinare la somma dei primi 10 termini della serie $2,5,8,...$

S_{10} = \frac{10}{2} \cdot (2 + (10 - 1) \cdot 3) = 5 \cdot (2 + 27) = 145

Serie Geometrica

Una serie geometrica si forma quando ogni termine della sequenza viene moltiplicato per un rapporto fisso per ottenere il termine successivo.

3,6,12,24,48,...;(\text{rapporto comune}, r=2)

La somma dei primi $n$ termini di una serie geometrica è data da:

S_n = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r},\ r \neq 1

Dove:

$a$ - primo termine;
$r$ - rapporto comune;
$n$ - numero di termini.

Se la serie è infinita e $|r|<1$ :

S = \frac{a}{1 - r}

Esempio:

Trovare la somma dei primi 4 termini della serie $3,6,12,24,...$

S_4 = 3 \cdot \frac{1-2^4}{1-2} = 3 \cdot \frac{1-16}{-1}=3 \cdot 15 = 45

Applicazioni nel Mondo Reale

Le serie aritmetiche e geometriche compaiono in molti contesti della data science:

Crescita della popolazione e modellizzazione delle risorse tramite progressioni geometriche;
Analisi finanziaria utilizzando calcoli di interesse composto;
Previsione dei ricavi su diversi periodi temporali;
Apprendimento automatico, dove le sommatorie si presentano in algoritmi come la discesa del gradiente.

Tutto è chiaro?

Grazie per i tuoi commenti!

Sezione 2. Capitolo 4