Impara Regressione Lineare con N Variabili

Equazione di Regressione Lineare con N Variabili

Come abbiamo visto, aggiungere una nuova variabile al modello di regressione lineare è semplice quanto aggiungerla insieme al nuovo parametro nell'equazione del modello. In questo modo possiamo aggiungere molti più di due parametri.

Nota

Considerare n come un numero intero maggiore di due.

y_{\text{pred}} = \beta_0 + \beta_1 x_1 + \beta_2 x_2 + \dots + \beta_n x_n

Dove:

$\beta_0, \beta_1, \beta_2, \dots, \beta_n$ – sono i parametri del modello;
$y_{\text{pred}}$ – è la previsione del target;
$x_1$ – è il valore della prima variabile;
$x_2$ – è il valore della seconda variabile;
$\dots$
$x_n$ – è il valore della n-esima variabile.

Equazione Normale

L'unico problema è la visualizzazione. Se abbiamo due parametri, dobbiamo costruire un grafico 3D. Ma se abbiamo più di due parametri, il grafico sarà in più di tre dimensioni. Tuttavia, viviamo in un mondo tridimensionale e non possiamo immaginare grafici in dimensioni superiori. Tuttavia, non è necessario visualizzare il risultato. Occorre solo trovare i parametri affinché il modello funzioni. Fortunatamente, è relativamente semplice trovarli. La classica Equazione Normale ci viene in aiuto:

\vec{\beta} = \begin{pmatrix} \beta_0 \\ \beta_1 \\ \dots \\ \beta_n \end{pmatrix} = (\tilde{X}^T \tilde{X})^{-1} \tilde{X}^T y_{\text{true}}

Dove:

$\beta_0, \beta_1, \dots, \beta_n$ – sono i parametri del modello;
$\tilde{X}$ – è una matrice che contiene 1 come prima colonna e $X_1 - X_n$ come altre colonne:

\tilde{X} = \begin{pmatrix} | & | & \dots & | \\ 1 & X_1 & \dots & X_n \\ | & | & \dots & | \end{pmatrix}

$X_k$ – è un array dei valori della k-esima variabile dal set di addestramento;
$y_{\text{true}}$ – è un array dei valori target dal set di addestramento.

Matrice X̃

Si noti che solo la matrice X̃ è cambiata. È possibile considerare le colonne di questa matrice come ciascuna responsabile del proprio parametro β. Il video seguente spiega cosa intendo.

La prima colonna di 1 è necessaria per trovare il parametro β₀.

Tutto è chiaro?

Grazie per i tuoi commenti!

Sezione 1. Capitolo 6

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Equazione di Regressione Lineare con N Variabili

Nota

Considerare n come un numero intero maggiore di due.

y_{\text{pred}} = \beta_0 + \beta_1 x_1 + \beta_2 x_2 + \dots + \beta_n x_n

Dove:

$\beta_0, \beta_1, \beta_2, \dots, \beta_n$ – sono i parametri del modello;
$y_{\text{pred}}$ – è la previsione del target;
$x_1$ – è il valore della prima variabile;
$x_2$ – è il valore della seconda variabile;
$\dots$
$x_n$ – è il valore della n-esima variabile.

Equazione Normale

\vec{\beta} = \begin{pmatrix} \beta_0 \\ \beta_1 \\ \dots \\ \beta_n \end{pmatrix} = (\tilde{X}^T \tilde{X})^{-1} \tilde{X}^T y_{\text{true}}

Dove:

$\beta_0, \beta_1, \dots, \beta_n$ – sono i parametri del modello;
$\tilde{X}$ – è una matrice che contiene 1 come prima colonna e $X_1 - X_n$ come altre colonne:

\tilde{X} = \begin{pmatrix} | & | & \dots & | \\ 1 & X_1 & \dots & X_n \\ | & | & \dots & | \end{pmatrix}

$X_k$ – è un array dei valori della k-esima variabile dal set di addestramento;
$y_{\text{true}}$ – è un array dei valori target dal set di addestramento.

Matrice X̃

Si noti che solo la matrice X̃ è cambiata. È possibile considerare le colonne di questa matrice come ciascuna responsabile del proprio parametro β. Il video seguente spiega cosa intendo.

La prima colonna di 1 è necessaria per trovare il parametro β₀.

Tutto è chiaro?

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