Summary  
This chapter covers constructing a quadratic regression model by extending the feature matrix with squared terms and solving for the optimal coefficients using the normal equation.  

General domain of usage  
Machine learning

## Il problema della regressione lineare
Prima di definire la regressione polinomiale, esamineremo il caso in cui la regressione lineare che abbiamo studiato in precedenza non funziona bene.

Qui puoi vedere che il nostro semplice modello di regressione lineare sta ottenendo risultati pessimi. Questo perché cerca di adattare una linea retta ai punti dati. Tuttavia, possiamo notare che adattare una parabola sarebbe una scelta molto migliore per i nostri punti.

## Equazione di regressione quadratica
Per costruire un modello lineare, abbiamo utilizzato un'equazione della retta (**y=ax+b**). Per costruire un modello parabolico, è necessaria l'equazione di una parabola. Questa è l'equazione quadratica: **y=ax²+bx+c**. Sostituendo **a**, **b** e **c** con **β** si ottiene l'**equazione di regressione quadratica**:

Il modello descritto da questa equazione è chiamato **Regressione Quadratica**. Come in precedenza, è necessario trovare i parametri ottimali per i nostri punti dati.

## Equazione Normale e X̃
Come sempre, l'Equazione Normale si occupa di trovare i parametri ottimali. Tuttavia, è necessario definire correttamente **X̃**.

Sappiamo già come costruire la matrice **X̃** per la Regressione Lineare Multipla. Si scopre che la matrice **X̃** per la Regressione Polinomiale viene costruita in modo simile. Possiamo considerare **x²** come una seconda variabile. In questo modo, è necessario aggiungere una nuova colonna corrispondente alla **X̃**. Questa conterrà gli stessi valori della colonna precedente ma elevati al quadrato.  <br><br> 
Il video qui sotto mostra come costruire la matrice **X̃**.

La regressione lineare è un concetto fondamentale nell'analisi predittiva. È ampiamente utilizzata da data scientist, analisti di dati e statistici poiché è facile da costruire e interpretare, ma abbastanza potente per molti compiti.

Iniziamo con il modello di Regressione Lineare più semplice. Verranno illustrate le basi della Regressione Lineare e come effettuare previsioni in Python.

La maggior parte delle attività di previsione nel mondo reale coinvolge più di una caratteristica. Verrà illustrato come gestire la regressione lineare con più caratteristiche.

Una retta non descrive sempre adeguatamente i dati. Impariamo come costruire un modello più complesso per la previsione. Questo è l'obiettivo della Regressione Polinomiale.

Ora che sai come costruire diversi modelli di Regressione Lineare, è necessario un metodo per selezionare il migliore. Questo è possibile utilizzando le metriche. Questa sezione illustra le metriche più utilizzate e le difficoltà che si possono incontrare nel loro impiego.