Summary  
This chapter covers how to perform quadratic regression by extending the design matrix with squared feature terms and applying the normal equation to compute the optimal parameters for a parabolic fit.

General domain of usage  
Predictive modeling

## Il problema della regressione lineare
Prima di definire la Regressione Polinomiale, esamineremo il caso in cui la Regressione Lineare che abbiamo studiato in precedenza non offre buoni risultati.

Qui si può osservare che il nostro semplice modello di regressione lineare non funziona bene. Questo accade perché cerca di adattare una retta ai punti dati. Tuttavia, si nota che adattare una parabola sarebbe una scelta molto migliore per i nostri punti.

## Equazione della regressione quadratica
Per costruire un modello lineare, abbiamo utilizzato l'equazione di una retta (**y=ax+b**). Per costruire un modello parabolico, serve invece l'equazione di una parabola, ovvero l'equazione quadratica: **y=ax²+bx+c**. Sostituendo **a**, **b** e **c** con **β** si ottiene l'**Equazione della Regressione Quadratica**:

Il modello descritto da questa equazione è chiamato **Regressione Quadratica**. Come in precedenza, è necessario trovare i parametri ottimali per i nostri punti dati.

## Equazione Normale e X̃
Come sempre, l'Equazione Normale si occupa di trovare i parametri ottimali. Tuttavia, è necessario definire correttamente la **X̃**.

Sappiamo già come costruire la matrice **X̃** per la Regressione Lineare Multipla. Si scopre che la matrice **X̃** per la Regressione Polinomiale viene costruita in modo simile. Si può considerare **x²** come una seconda caratteristica. In questo modo, è necessario aggiungere una nuova colonna corrispondente alla **X̃**. Questa conterrà gli stessi valori della colonna precedente, ma elevati al quadrato.  <br><br> 
Il video qui sotto mostra come costruire la **X̃**.

La regressione lineare è un concetto fondamentale nell'analisi predittiva. È ampiamente utilizzata da data scientist, analisti di dati e statistici poiché è facile da costruire e interpretare, ma abbastanza potente per molti compiti.

Iniziamo con il modello di Regressione Lineare più semplice. Verranno illustrate le basi della Regressione Lineare e come effettuare previsioni in Python.

La maggior parte delle attività di previsione nel mondo reale coinvolge più di una caratteristica. Verrà illustrato come gestire la regressione lineare con più caratteristiche.

Una retta non descrive sempre adeguatamente i dati. Impariamo come costruire un modello più complesso per la previsione. Questo è l'obiettivo della Regressione Polinomiale.

Ora che sai come costruire diversi modelli di Regressione Lineare, è necessario un metodo per selezionare il migliore. Questo è possibile utilizzando le metriche. Questa sezione illustra le metriche più utilizzate e le difficoltà che si possono incontrare nel loro impiego.