Il problema della regressione lineare

Prima di definire la Regressione Polinomiale, esamineremo il caso in cui la Regressione Lineare che abbiamo studiato in precedenza non offre buoni risultati.

Qui puoi vedere che il nostro semplice modello di regressione lineare non funziona bene. Questo perché cerca di adattare una linea retta ai punti dati. Tuttavia, possiamo notare che adattare una parabola sarebbe una scelta molto migliore per i nostri punti.

Equazione della regressione quadratica

Per costruire un modello lineare, abbiamo utilizzato un'equazione della retta (y=ax+b). Quindi, per costruire un modello parabolico, abbiamo bisogno dell'equazione di una parabola. Questa è l'equazione quadratica: y=ax²+bx+c. Sostituendo a, b e c con β otteniamo l'Equazione della Regressione Quadratica:

Il modello descritto da questa equazione è chiamato Regressione Quadratica. Come in precedenza, dobbiamo solo trovare i parametri migliori per i nostri punti dati.

Equazione Normale e X̃

Come sempre, l'Equazione Normale si occupa di trovare i parametri ottimali. Tuttavia, dobbiamo definire correttamente la X̃.

Sappiamo già come costruire la matrice X̃ per la Regressione Lineare Multipla. Si scopre che la matrice X̃ per la Regressione Polinomiale viene costruita in modo simile. Possiamo considerare x² come una seconda caratteristica. In questo modo, dobbiamo aggiungere una nuova colonna corrispondente alla X̃. Questa conterrà gli stessi valori della colonna precedente ma elevati al quadrato.

Il video qui sotto mostra come costruire la X̃.