学ぶ基礎線形代数 | NumPyによる数学

セクション 4. 章 3

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線形代数は、機械学習、ディープラーニング、データ分析などさまざまな分野で重要な役割を果たす、数学の基礎的な分野。

ベクトルと行列

線形代数において、ベクトルは値の順序付き集合。1次元NumPy配列はベクトルを効率的に表現可能。行列は数値の2次元配列であり、NumPyの2次元配列で表現できる。

ベクトルと行列の加算・減算、スカラー倍については、**「基本的な数学演算」**の章ですでに説明済み。ここではその他の演算に焦点を当てる。

転置

転置は、行列を対角線で反転させる操作。つまり、行列の行を列に、列を行に変換する。

NumPy 配列の .T 属性を使用して行列を転置可能:


              12345
            
import numpy as np
matrix = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
# Transposing a matrix
transposed_matrix = matrix.T
print(transposed_matrix)

ドット積

ドット積 は、機械学習や深層学習で最も一般的に使用される線形代数演算の一つ。2つの ベクトル（要素数が等しい必要あり）のドット積は、それぞれの 要素ごと の積の合計。結果は スカラー となる:

行列の積

行列の積は、最初の行列の列数が2番目の行列の行数と等しい場合にのみ定義されます。結果として得られる行列は、最初の行列と同じ行数、および2番目の行列と同じ列数を持ちます。

ご覧の通り、結果の行列の各要素は、2つのベクトルのドット積です。要素の行番号は最初の行列の行ベクトルの番号に対応し、列番号は2番目の行列の列ベクトルの番号に対応します。

最初の行列の列数は2番目の行列の行数と等しい必要があります。これは、ドット積を計算するために2つのベクトルが同じ要素数を持つ必要があるためです。

NumPyにおけるドット積と行列の積

NumPy では、ドット積と行列の積の両方に dot() 関数が用意されています。この関数は2つの配列を引数として受け取ります。

また、2つの配列の間に @ 演算子を使うことでも同じ結果を得ることができます。


              12345678910111213
            
import numpy as np
vector_1 = np.array([1, 2, 3])
vector_2 = np.array([4, 5, 6])
# Dot product using the dot() function
print(np.dot(vector_1, vector_2))
# Dot product using the @ operator
print(vector_1 @ vector_2)
matrix_1 = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
matrix_2 = np.array([[7, 10], [8, 11], [9, 12]])
# Matrix multiplication using the dot() function
print(np.dot(matrix_1, matrix_2))
# Matrix multiplication using the @ operator
print(matrix_1 @ matrix_2)