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Pythonでのベクトルの定義

Pythonでは、NumPy配列を使用して次のように2次元ベクトルを定義。


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import numpy as np

v1 = np.array([2, 1])
v2 = np.array([1, 3])

print(f'v1 = {v1}')
print(f'v2 = {v2}')

これらはベクトルを表します：

\vec{v}_1 = (2, 1), \quad \vec{v}_2 = (1, 3)

これらは加算、減算、ドット積や大きさの計算に使用できます。

ベクトルの加算

ベクトルの加算を計算するには：


              1234567
            
import numpy as np

v1 = np.array([2, 1])
v2 = np.array([1, 3])

v3 = v1 + v2
print(f'v3 = v1 + v2 = {v3}')

これは次の計算を行います：

(2, 1) + (1, 3) = (3, 4)

これはベクトル加算の規則と一致します：

\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, \; a_2 + b_2)

ベクトルの大きさ（長さ）

Pythonで大きさを計算する方法：

np.linalg.norm(v)

ベクトル [3, 4] の場合：


              123
            
import numpy as np

print(np.linalg.norm([3, 4]))  # 5.0

この式を使用：

|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}

ドット積

ドット積の計算方法：


              123
            
import numpy as np

print(np.dot([1, 2], [2, 3]))

これにより、次のようになります：

[1, 2] \cdot [2, 3] = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 = 8

ドット積の一般的な規則：

\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2

Matplotlibによるベクトルの可視化

Matplotlibのquiver()関数を使用して、ベクトルおよびその合成ベクトルを表す矢印を描画可能。各矢印はベクトルの位置、方向、長さを示す。

青: $\vec{v}_1$ 、原点から描画；
緑: $\vec{v}_2$ 、 $\vec{v}_1$ の先端から開始；
赤: 合成ベクトル、原点から最終的な先端まで描画。

例：


              123456789101112131415161718
            
import matplotlib.pyplot as plt

fig, ax = plt.subplots()

# v1
ax.quiver(0, 0, 2, 1, color='blue', angles='xy', scale_units='xy', scale=1)

# v2 (head-to-tail)
ax.quiver(2, 1, 1, 3, color='green', angles='xy', scale_units='xy', scale=1)

# resultant
ax.quiver(0, 0, 3, 4, color='red', angles='xy', scale_units='xy', scale=1)

plt.xlim(0, 5)
plt.ylim(0, 5)
plt.grid(True)
plt.title('Vector Addition (Head-to-Tail Method)')
plt.show()

パラメータ（最初の quiver 呼び出しに基づく）：

ax.quiver(0, 0, 2, 1, color='blue', angles='xy', scale_units='xy', scale=1)

0, 0 – ベクトルの始点（原点）；
2, 1 – x方向およびy方向のベクトル成分；
color='blue' – 矢印の色を青に設定；
angles='xy' – デカルト座標（x–y平面）で矢印を描画；
scale_units='xy' – 軸と同じ単位で矢印をスケーリング；
scale=1 – 矢印の実際の長さを保持（自動スケーリングなし）。

このプロットはベクトルの頭から尾への加算を示しており、赤いベクトルは和 $\vec{v}_1 + \vec{v}_2$ を表す。

すべて明確でしたか？

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セクション 4. 章 2

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Pythonによるベクトルの実装