Summary  
This chapter covers computing principal components by formulating maximum-variance projection as an eigenvalue problem on the covariance matrix and extracting the leading eigenvector.  

General domain of usage  
Dimensionality reduction for data analysis.

PCA søker et nytt sett med akser, kalt **hovedkomponenter**, slik at de projiserte dataene har **maksimal varians**. Den første hovedkomponenten, betegnet som $$w_{\raisebox{-0.5pt}{$1$}}$$, velges for å maksimere variansen til de projiserte dataene:

$$
\mathrm{Var}(X w_1)
$$

Med betingelsen at $$\|w_{\raisebox{-0.5pt}{$1$}}\| = 1$$. Løsningen på dette maksimeringsproblemet er **egenvektoren** til kovariansmatrisen som tilsvarer den største egenverdien.

Optimeringsproblemet er:

$$
\max_{w} \ w^T \Sigma w \quad \text{subject to} \quad \|w\| = 1
$$

Løsningen er enhver vektor $$w$$ som tilfredsstiller $$\Sigma w = \lambda w$$, hvor $$\lambda$$ er den tilhørende egenverdien. Med andre ord, $$w$$ er en **egenvektor** til kovariansmatrisen $$\Sigma$$ assosiert med egenverdien $$\lambda$$.

import numpy as np

# Assume cov_matrix from earlier
X = np.array([[2.5, 2.4],
              [0.5, 0.7],
              [2.2, 2.9]])
X_centered = X - np.mean(X, axis=0)
cov_matrix = (X_centered.T @ X_centered) / X_centered.shape[0]

# Find the principal component (eigenvector with largest eigenvalue)
values, vectors = np.linalg.eig(cov_matrix)
principal_component = vectors[:, np.argmax(values)]
print("First principal component:", principal_component)

**Denne hovedkomponenten** er retningen der dataene har størst varians. Å projisere dataene på denne retningen gir den mest informative **endimensjonale representasjonen** av det opprinnelige datasettet.

Hvilket utsagn beskriver best rollen til kovariansmatrisen i utledningen av PCA ved bruk av lineær algebra

Et omfattende kurs på mellomnivå som veileder lærere gjennom motivasjonen, de matematiske grunnprinsippene og praktisk implementering av Principal Component Analysis (PCA) for dimensjonsreduksjon innen data science og maskinlæring.

Utforsk motivasjonen, utfordringene og fordelene ved å redusere datadimensjoner innen maskinlæring og datavitenskap.

Utforsk de matematiske konseptene som ligger til grunn for PCA, inkludert varians, kovarians og egenvektorer.

Bruk av PCA på reelle datasett med Python, tolkning av resultater, visualisering av forklart varians og komponentlaster, samt sammenligning av modellens ytelse før og etter PCA.

Utledning av PCA ved Bruk av Lineær Algebra