Notice: This page requires JavaScript to function properly.
Please enable JavaScript in your browser settings or update your browser.Lære Varians, Kovarians og Kovariansmatrisen | Matematisk Grunnlag for PCA
Dimensjonsreduksjon med PCA

bookVarians, Kovarians og Kovariansmatrisen

Note
Definisjon

Varians måler hvor mye en variabel avviker fra sitt gjennomsnitt.

Formelen for varians til en variabel xx er:

Var(x)=1n∑i=1n(xi−xˉ)2\mathrm{Var}(x) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2
Note
Definisjon

Kovarians måler hvordan to variabler endres sammen.

Formelen for kovarians mellom variablene xx og yy er:

Cov(x,y)=1n−1∑i=1n(xi−xˉ)(yi−yˉ)\mathrm{Cov}(x, y) = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})

Kovariansmatrisen generaliserer kovarians til flere variabler. For et datasett XX med dd egenskaper og nn observasjoner, er kovariansmatrisen Σ\Sigma en d×dd \times d matrise der hvert element Σij\Sigma_{ij} er kovariansen mellom egenskap ii og egenskap jj, beregnet med nevner n−1n-1 for å være en forventningsrett estimator.


              
12345678910111213

            
import numpy as np

# Example data: 3 samples, 2 features
X = np.array([[2.5, 2.4],
              [0.5, 0.7],
              [2.2, 2.9]])

# Center the data (subtract mean)
X_centered = X - np.mean(X, axis=0)

# Compute covariance matrix manually
cov_matrix = (X_centered.T @ X_centered) / X_centered.shape[0]
print("Covariance matrix:\n", cov_matrix)
copy

I koden over sentreres dataene manuelt, og kovariansmatrisen beregnes ved hjelp av matrise­multiplikasjon. Denne matrisen viser hvordan hvert par av egenskaper varierer sammen.

question mark

Hvilket utsagn beskriver nøyaktig forholdet mellom varians, kovarians og kovariansmatrisen

Select the correct answer

Alt var klart?

Hvordan kan vi forbedre det?

Takk for tilbakemeldingene dine!

Seksjon 2. Kapittel 1

Spør AI

expand

Spør AI

ChatGPT

Spør om hva du vil, eller prøv ett av de foreslåtte spørsmålene for å starte chatten vår

Suggested prompts:

Can you explain why we center the data before computing the covariance matrix?

What is the difference between dividing by n and n-1 in the covariance calculation?

How do I interpret the values in the covariance matrix?

Awesome!

Completion rate improved to 8.33

bookVarians, Kovarians og Kovariansmatrisen

Sveip for å vise menyen

Note
Definisjon

Varians måler hvor mye en variabel avviker fra sitt gjennomsnitt.

Formelen for varians til en variabel xx er:

Var(x)=1n∑i=1n(xi−xˉ)2\mathrm{Var}(x) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2
Note
Definisjon

Kovarians måler hvordan to variabler endres sammen.

Formelen for kovarians mellom variablene xx og yy er:

Cov(x,y)=1n−1∑i=1n(xi−xˉ)(yi−yˉ)\mathrm{Cov}(x, y) = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})

Kovariansmatrisen generaliserer kovarians til flere variabler. For et datasett XX med dd egenskaper og nn observasjoner, er kovariansmatrisen Σ\Sigma en d×dd \times d matrise der hvert element Σij\Sigma_{ij} er kovariansen mellom egenskap ii og egenskap jj, beregnet med nevner n−1n-1 for å være en forventningsrett estimator.


              
12345678910111213

            
import numpy as np

# Example data: 3 samples, 2 features
X = np.array([[2.5, 2.4],
              [0.5, 0.7],
              [2.2, 2.9]])

# Center the data (subtract mean)
X_centered = X - np.mean(X, axis=0)

# Compute covariance matrix manually
cov_matrix = (X_centered.T @ X_centered) / X_centered.shape[0]
print("Covariance matrix:\n", cov_matrix)
copy

I koden over sentreres dataene manuelt, og kovariansmatrisen beregnes ved hjelp av matrise­multiplikasjon. Denne matrisen viser hvordan hvert par av egenskaper varierer sammen.

question mark

Hvilket utsagn beskriver nøyaktig forholdet mellom varians, kovarians og kovariansmatrisen

Select the correct answer

Alt var klart?

Hvordan kan vi forbedre det?

Takk for tilbakemeldingene dine!

Seksjon 2. Kapittel 1
some-alt