Lære Hva er Monte Carlo-metoder?

Definisjon

Monte Carlo (MC)-metoder er en klasse av beregningsalgoritmer som baserer seg på tilfeldig utvalg for å estimere numeriske resultater.

Monte Carlo-metoder brukes når deterministiske løsninger er vanskelige eller umulige å oppnå. De erstatter nøyaktige beregninger med tilnærminger som forbedres med antall tilfeldige utvalg.

Hvordan fungerer de?

Monte Carlo-metoder kan variere fra én oppgave til en annen, men alle følger et felles mønster:

Definer et domene av mulige inputverdier;
Generer tilfeldige inputverdier fra en sannsynlighetsfordeling;
Evaluer en funksjon på disse inputverdiene;
Aggreger resultatene for å produsere et estimat.

Eksempler

Selv om mønsteret beskrevet ovenfor kan virke komplekst, vil disse eksemplene bidra til å tydeliggjøre ideen bak det.

Integralkomputasjon

Å beregne integraler er en ikke-triviell oppgave som vanligvis krever bruk av flere teknikker for å oppnå korrekt resultat.

La oss forsøke å bruke Monte Carlo-metoden for å løse dette integralet:

\int_0^1 \int_0^1 \frac{1}{1 + (x + y)^2} \, dx \, dy

Inndataområde: Dette dobbeltintegralet har to variabler, $x \in [0, 1]$ og $y \in [0, 1]$ ;
Generering: Begge disse variablene er uavhengige av hverandre og jevnt fordelt;
Evaluering: For å få en punktverdi kan funksjonen under integralene brukes;
Aggregasjon: Verdien av dette integralet kan defineres som volumet under kurven. Volumet kan beregnes som produktet av grunnflatearealet og gjennomsnittshøyden. Grunnflatearealet er 1 (enhet kvadrat) og gjennomsnittshøyden er gjennomsnittet av resultatene fra forrige steg.


              12345678910111213141516
            
import numpy as np

result = 0
# Many samples are required for estimates to be precise
for i in range(100000):
  # Generation of random variables
  x, y = np.random.uniform(), np.random.uniform()
  # Computation of point value
  value = 1 / (1 + (x + y) ** 2)
  # Mean aggregation
  result += (value - result) / (i + 1)

# Closed-form solution of this integral
true_result = 2*np.arctan(2) - np.pi/2 - (1/2)*np.log(5) + np.log(2)
print(f"Approximated result: {result}")
print(f"True result: {true_result}")

Tilnærming av $\Large\pi$

Å tilnærme $\pi$ er en av de mest ikoniske bruksområdene for Monte Carlo-metoden. Dette illustrerer hvordan tilfeldig utvalg kan løse et geometrisk problem uten avansert kalkulus.

Tenk deg et enhetskvadrat med en kvart sirkel innsirklet i det:

Kvadratet strekker seg over $[0, 1] \times [0, 1]$ ;
Kvartsirkelen har radius 1 og er sentrert i origo.

Arealet til kvartsirkelen er $\displaystyle\frac{\pi r^2}{4}$ eller $\displaystyle\frac{\pi}{4}$ , og arealet til kvadratet er 1. Nå kan vi trekke tilfeldige punkter inne i kvadratet. Med et stort nok utvalg:

\frac{\text{Points inside the quarter circle}}{\text{Total points}} \approx \frac\pi4

Dermed kan verdien av $\pi$ beregnes som

\pi \approx 4 \cdot \frac{\text{Points inside}}{\text{Total points}}


              1234567891011121314151617181920212223242526272829
            
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Lists for coordinates
inside = []
outside = []

# Many samples are required for estimates to be precise
for _ in range(100000):
  # Generation of random variables
  x, y = np.random.uniform(), np.random.uniform()
  # Splitting points inside and outside of the circle
  if x**2 + y**2 <= 1:
    inside.append((x, y))
  else:
    outside.append((x, y))

# Plotting points
plt.figure(figsize=(6,6))
plt.scatter(*zip(*inside), color="blue", s=1, label="Inside")
plt.scatter(*zip(*outside), color="red", s=1, label="Outside")
plt.legend()
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y")
plt.show()

estimate = 4 * len(inside) / (len(inside) + len(outside))
print(f"Estimated value of pi: {estimate}")
print(f"True value of pi: {np.pi}")

Multi-armed banditter

I multi-armed bandit-problemet er et sentralt mål å estimere aksjonsverdien for hver arm — det vil si den forventede belønningen ved å velge en bestemt handling. En vanlig strategi er å estimere disse verdiene ved å ta gjennomsnittet av de observerte belønningene som oppnås ved å trekke i hver arm over tid. Denne teknikken er faktisk en Monte Carlo-metode.

Monte Carlo-metoder for MDP-er

I motsetning til dynamisk programmering-metoder, som er avhengige av en fullstendig og nøyaktig modell av miljøets dynamikk, lærer Monte Carlo-metoder utelukkende fra erfaring — det vil si fra faktiske eller simulerte sekvenser av tilstander, handlinger og belønninger.

Dette gjør Monte Carlo-tilnærminger spesielt kraftfulle: de krever ingen forhåndskunnskap om hvordan miljøet fungerer. I stedet utleder de verdiberegninger direkte fra det som skjer under interaksjon. I mange virkelige scenarier, der modellering av miljøet er upraktisk eller umulig, er denne evnen til å lære fra rå erfaring en stor fordel.

Når direkte interaksjon med miljøet er kostbart, risikabelt eller tregt, kan Monte Carlo-metoder også lære fra simulert erfaring, forutsatt at det finnes en pålitelig simulering. Dette muliggjør utforskning og læring i et kontrollert, repeterbart miljø — selv om det forutsetter tilgang til en modell som kan generere plausible overganger.

Alt var klart?

Takk for tilbakemeldingene dine!

Seksjon 4. Kapittel 1

Spør AI

Spør om hva du vil, eller prøv ett av de foreslåtte spørsmålene for å starte chatten vår

Sveip for å vise menyen

Definisjon

Monte Carlo (MC)-metoder er en klasse av beregningsalgoritmer som baserer seg på tilfeldig utvalg for å estimere numeriske resultater.

Hvordan fungerer de?

Monte Carlo-metoder kan variere fra én oppgave til en annen, men alle følger et felles mønster:

Definer et domene av mulige inputverdier;
Generer tilfeldige inputverdier fra en sannsynlighetsfordeling;
Evaluer en funksjon på disse inputverdiene;
Aggreger resultatene for å produsere et estimat.

Eksempler

Selv om mønsteret beskrevet ovenfor kan virke komplekst, vil disse eksemplene bidra til å tydeliggjøre ideen bak det.

Integralkomputasjon

Å beregne integraler er en ikke-triviell oppgave som vanligvis krever bruk av flere teknikker for å oppnå korrekt resultat.

La oss forsøke å bruke Monte Carlo-metoden for å løse dette integralet:

\int_0^1 \int_0^1 \frac{1}{1 + (x + y)^2} \, dx \, dy

Inndataområde: Dette dobbeltintegralet har to variabler, $x \in [0, 1]$ og $y \in [0, 1]$ ;
Generering: Begge disse variablene er uavhengige av hverandre og jevnt fordelt;
Evaluering: For å få en punktverdi kan funksjonen under integralene brukes;
Aggregasjon: Verdien av dette integralet kan defineres som volumet under kurven. Volumet kan beregnes som produktet av grunnflatearealet og gjennomsnittshøyden. Grunnflatearealet er 1 (enhet kvadrat) og gjennomsnittshøyden er gjennomsnittet av resultatene fra forrige steg.


              12345678910111213141516
            
import numpy as np

result = 0
# Many samples are required for estimates to be precise
for i in range(100000):
  # Generation of random variables
  x, y = np.random.uniform(), np.random.uniform()
  # Computation of point value
  value = 1 / (1 + (x + y) ** 2)
  # Mean aggregation
  result += (value - result) / (i + 1)

# Closed-form solution of this integral
true_result = 2*np.arctan(2) - np.pi/2 - (1/2)*np.log(5) + np.log(2)
print(f"Approximated result: {result}")
print(f"True result: {true_result}")

Tilnærming av $\Large\pi$

Å tilnærme $\pi$ er en av de mest ikoniske bruksområdene for Monte Carlo-metoden. Dette illustrerer hvordan tilfeldig utvalg kan løse et geometrisk problem uten avansert kalkulus.

Tenk deg et enhetskvadrat med en kvart sirkel innsirklet i det:

Kvadratet strekker seg over $[0, 1] \times [0, 1]$ ;
Kvartsirkelen har radius 1 og er sentrert i origo.

\frac{\text{Points inside the quarter circle}}{\text{Total points}} \approx \frac\pi4

Dermed kan verdien av $\pi$ beregnes som

\pi \approx 4 \cdot \frac{\text{Points inside}}{\text{Total points}}


              1234567891011121314151617181920212223242526272829
            
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Lists for coordinates
inside = []
outside = []

# Many samples are required for estimates to be precise
for _ in range(100000):
  # Generation of random variables
  x, y = np.random.uniform(), np.random.uniform()
  # Splitting points inside and outside of the circle
  if x**2 + y**2 <= 1:
    inside.append((x, y))
  else:
    outside.append((x, y))

# Plotting points
plt.figure(figsize=(6,6))
plt.scatter(*zip(*inside), color="blue", s=1, label="Inside")
plt.scatter(*zip(*outside), color="red", s=1, label="Outside")
plt.legend()
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y")
plt.show()

estimate = 4 * len(inside) / (len(inside) + len(outside))
print(f"Estimated value of pi: {estimate}")
print(f"True value of pi: {np.pi}")

Multi-armed banditter

Monte Carlo-metoder for MDP-er

Alt var klart?

Takk for tilbakemeldingene dine!

Seksjon 4. Kapittel 1

Hva er Monte Carlo-metoder?

Hvordan fungerer de?

Eksempler

Integralkomputasjon

Tilnærming av π\Large\piπ

Multi-armed banditter

Monte Carlo-metoder for MDP-er

Awesome!

Hva er Monte Carlo-metoder?

Hvordan fungerer de?

Eksempler

Integralkomputasjon

Tilnærming av π\Large\piπ

Multi-armed banditter

Monte Carlo-metoder for MDP-er

Tilnærming av $\Large\pi$

Tilnærming av $\Large\pi$