Lære Forståelse av Utvalg | Sannsynlighet og Statistikk

Definisjon

Utvalg er prosessen med å velge et delsett av data fra en større populasjon for å oppnå innsikt og trekke slutninger om helheten. Siden det ofte er upraktisk eller umulig å samle inn data fra hele populasjonen, gir utvalg mulighet for effektiv analyse samtidig som kvaliteten og nøyaktigheten i resultatene opprettholdes.

Enkel tilfeldig utvelgelse

Hvert medlem av populasjonen har like stor sjanse for å bli valgt.
Dette kan sammenlignes med å trekke navn fra en hatt.

P(\text{Select any individual}) = \frac{1}{N}

Hvor:

$N$ = population size.

Eksempel 1:

Du har en klasse med 30 studenter. Du ønsker å tilfeldig velge 5 til en undersøkelse.

Løsning: Bruk en tilfeldig tallgenerator for å velge 5 unike tall mellom 1 og 30. Hver student har $\tfrac{\raisebox{1pt}{$1$}}{\raisebox{-1pt}{$30$}}$ sjanse for å bli valgt.

Eksempel 2:

Du har en klasse med 30 elever og ønsker å velge 5 til å delta i en undersøkelse.

Total populasjon: $N=30$ ;
Utvalgsstørrelse: $n=5$ .

Hva er sannsynligheten for at både Alice og Bob blir valgt?

Totalt antall måter å velge 5 elever fra 30:

\binom{30}{5}

Antall gunstige utvalg som inneholder både Alice og Bob:
Fiks Alice og Bob — velg 3 til fra de resterende 28:

\binom{28}{3}

Sannsynligheten blir da:

P = \frac{\binom{28}{3}}{\binom{30}{5}}

Stratifisert utvalg

Populasjonen deles inn i meningsfulle undergrupper (strata), og tilfeldige utvalg tas fra hver gruppe.

n_h = \frac{N_h}{N} \times n

Hvor:

$N_h$ – størrelse på undergruppe $h$ ;
$N$ – total populasjonsstørrelse;
$n$ – total utvalgsstørrelse;
$n_{\raisebox{-1pt}{$h$}}$ – utvalgsstørrelse fra undergruppe $h$ .

Eksempel:

En klasse har 30 elever: 18 gutter og 12 jenter. Du ønsker å trekke ut 10 elever proporsjonalt:

Fra gutter: $\tfrac{\raisebox{1pt}{$18$}}{\raisebox{-1pt}{$30$}} \times 10 = 6$ ;
Fra jenter: $\tfrac{\raisebox{1pt}{$12$}}{\raisebox{-1pt}{$30$}} \times 10 = 4$ .

Hvorfor det er bra: Sikrer representasjon av viktige undergrupper.

Klyngeutvalg

Populasjonen deles inn i grupper (klynger), og hele klynger velges tilfeldig.

c = \text{number of clusters to sample}

Hvor:

Klynger er forhåndsdefinerte grupper (f.eks. klasserom, lag);
Hele klynger velges tilfeldig, ikke enkeltindivider.

Eksempel 1:

Skolen din har 5 klasserom. Du ønsker et utvalg på 25 elever, men å undersøke enkeltpersoner tar for lang tid.

Løsning: Velg tilfeldig ett klasserom (siden hvert har omtrent 25 elever) og undersøk alle.

Eksempel 2:

Et universitet har 20 sovesalsbygninger, hver med 50 studenter. Du velger tilfeldig 4 sovesaler og undersøker alle som bor der.

Antall klynger: $N=20$ ;
Valgte klynger: $n=4$ ;
Studenter per sovesal: $M=50$ ;
Totalt antall studenter i utvalget: $n \times M = 200$ .

Hva er sannsynligheten for at en bestemt student (f.eks. Sarah) blir inkludert?
Dette tilsvarer sannsynligheten for at hennes sovesal blir valgt:

P(\text{Sarah selected}) = \frac{4}{20} = 0.2

Komplekst tilfelle:
Hvis 10 sovesaler har 30 studenter og 10 har 70 studenter, og du velger 4 sovesaler tilfeldig, hva er forventet utvalgsstørrelse?

La:

$D_{30} = 10$ sovesaler med 30 studenter;
$D_{70} = 10$ sovesaler med 70 studenter.

Forventet utvalgsstørrelse:

E = \frac{10}{20} \cdot (4 \times 30) + \frac{10}{20} \cdot (4 \times 70) = 200

Så selv om klyngene varierer i størrelse, forblir forventet utvalgsstørrelse den samme dersom sovesaltypene er balanserte.

Systematisk utvalg

Velg hver $k$ -te enhet fra en liste.

k = \frac{N}{n}

Hvor:

$N$ – total populasjon;
$n$ – ønsket utvalgsstørrelse;
$k$ – utvalgsintervall.

Eksempel:

En liste med 1000 kunder. Du ønsker et utvalg på 100. Da:

k = \frac{1000}{100} = 10

Velg et tilfeldig startpunkt (f.eks. 7), og velg deretter hver 10. kunde: 7, 17, 27, osv.

Fordeler: Enkel å gjennomføre og systematisk.

Alle metoder brukt på ett problem

Problemstilling:
Du undersøker tilfredshet med kantinen på en skole med 300 elever fordelt på 10 klasserom (30 per rom). Du ønsker et utvalg på 30 elever.

Enkel tilfeldig: trekk tilfeldig ut 30 navn fra hele listen;
Stratifisert: hvis 60 % er gutter og 40 % jenter, trekk 18 gutter og 12 jenter;
Klynge: velg tilfeldig én klasse (30 elever) og undersøk alle;
Systematisk: velg hver tiende elev fra en ordnet liste.

Sammendrag

Utvalg reduserer datainnsamlingens omfang og muliggjør generalisering;
Tilfeldig og stratifisert utvalg gir best nøyaktighet;
Klyngeutvalg er effektivt, men fungerer best når klyngene er like;
Systematisk utvalg er enkelt og praktisk;
Bekvemmelighetsutvalg er risikabelt og bør unngås om mulig;
Dokumenter alltid utvalgsmetoden i reelle analyser.

Alt var klart?

Takk for tilbakemeldingene dine!

Seksjon 5. Kapittel 5

Spør AI

Spør om hva du vil, eller prøv ett av de foreslåtte spørsmålene for å starte chatten vår

Suggested prompts:

Can you explain the differences between these sampling methods in more detail?

When should I use each sampling method?

Can you provide more real-world examples for each sampling method?

Awesome!

Completion rate improved to 1.96

Sveip for å vise menyen

Definisjon

Enkel tilfeldig utvelgelse

Hvert medlem av populasjonen har like stor sjanse for å bli valgt.
Dette kan sammenlignes med å trekke navn fra en hatt.

P(\text{Select any individual}) = \frac{1}{N}

Hvor:

$N$ = population size.

Eksempel 1:

Du har en klasse med 30 studenter. Du ønsker å tilfeldig velge 5 til en undersøkelse.

Løsning: Bruk en tilfeldig tallgenerator for å velge 5 unike tall mellom 1 og 30. Hver student har $\tfrac{\raisebox{1pt}{$1$}}{\raisebox{-1pt}{$30$}}$ sjanse for å bli valgt.

Eksempel 2:

Du har en klasse med 30 elever og ønsker å velge 5 til å delta i en undersøkelse.

Total populasjon: $N=30$ ;
Utvalgsstørrelse: $n=5$ .

Hva er sannsynligheten for at både Alice og Bob blir valgt?

Totalt antall måter å velge 5 elever fra 30:

\binom{30}{5}

Antall gunstige utvalg som inneholder både Alice og Bob:
Fiks Alice og Bob — velg 3 til fra de resterende 28:

\binom{28}{3}

Sannsynligheten blir da:

P = \frac{\binom{28}{3}}{\binom{30}{5}}

Stratifisert utvalg

Populasjonen deles inn i meningsfulle undergrupper (strata), og tilfeldige utvalg tas fra hver gruppe.

n_h = \frac{N_h}{N} \times n

Hvor:

$N_h$ – størrelse på undergruppe $h$ ;
$N$ – total populasjonsstørrelse;
$n$ – total utvalgsstørrelse;
$n_{\raisebox{-1pt}{$h$}}$ – utvalgsstørrelse fra undergruppe $h$ .

Eksempel:

En klasse har 30 elever: 18 gutter og 12 jenter. Du ønsker å trekke ut 10 elever proporsjonalt:

Fra gutter: $\tfrac{\raisebox{1pt}{$18$}}{\raisebox{-1pt}{$30$}} \times 10 = 6$ ;
Fra jenter: $\tfrac{\raisebox{1pt}{$12$}}{\raisebox{-1pt}{$30$}} \times 10 = 4$ .

Hvorfor det er bra: Sikrer representasjon av viktige undergrupper.

Klyngeutvalg

Populasjonen deles inn i grupper (klynger), og hele klynger velges tilfeldig.

c = \text{number of clusters to sample}

Hvor:

Klynger er forhåndsdefinerte grupper (f.eks. klasserom, lag);
Hele klynger velges tilfeldig, ikke enkeltindivider.

Eksempel 1:

Skolen din har 5 klasserom. Du ønsker et utvalg på 25 elever, men å undersøke enkeltpersoner tar for lang tid.

Løsning: Velg tilfeldig ett klasserom (siden hvert har omtrent 25 elever) og undersøk alle.

Eksempel 2:

Et universitet har 20 sovesalsbygninger, hver med 50 studenter. Du velger tilfeldig 4 sovesaler og undersøker alle som bor der.

Antall klynger: $N=20$ ;
Valgte klynger: $n=4$ ;
Studenter per sovesal: $M=50$ ;
Totalt antall studenter i utvalget: $n \times M = 200$ .

Hva er sannsynligheten for at en bestemt student (f.eks. Sarah) blir inkludert?
Dette tilsvarer sannsynligheten for at hennes sovesal blir valgt:

P(\text{Sarah selected}) = \frac{4}{20} = 0.2

Komplekst tilfelle:
Hvis 10 sovesaler har 30 studenter og 10 har 70 studenter, og du velger 4 sovesaler tilfeldig, hva er forventet utvalgsstørrelse?

La:

$D_{30} = 10$ sovesaler med 30 studenter;
$D_{70} = 10$ sovesaler med 70 studenter.

Forventet utvalgsstørrelse:

E = \frac{10}{20} \cdot (4 \times 30) + \frac{10}{20} \cdot (4 \times 70) = 200

Så selv om klyngene varierer i størrelse, forblir forventet utvalgsstørrelse den samme dersom sovesaltypene er balanserte.

Systematisk utvalg

Velg hver $k$ -te enhet fra en liste.

k = \frac{N}{n}

Hvor:

$N$ – total populasjon;
$n$ – ønsket utvalgsstørrelse;
$k$ – utvalgsintervall.

Eksempel:

En liste med 1000 kunder. Du ønsker et utvalg på 100. Da:

k = \frac{1000}{100} = 10

Velg et tilfeldig startpunkt (f.eks. 7), og velg deretter hver 10. kunde: 7, 17, 27, osv.

Fordeler: Enkel å gjennomføre og systematisk.

Alle metoder brukt på ett problem

Problemstilling:
Du undersøker tilfredshet med kantinen på en skole med 300 elever fordelt på 10 klasserom (30 per rom). Du ønsker et utvalg på 30 elever.

Enkel tilfeldig: trekk tilfeldig ut 30 navn fra hele listen;
Stratifisert: hvis 60 % er gutter og 40 % jenter, trekk 18 gutter og 12 jenter;
Klynge: velg tilfeldig én klasse (30 elever) og undersøk alle;
Systematisk: velg hver tiende elev fra en ordnet liste.

Sammendrag

Utvalg reduserer datainnsamlingens omfang og muliggjør generalisering;
Tilfeldig og stratifisert utvalg gir best nøyaktighet;
Klyngeutvalg er effektivt, men fungerer best når klyngene er like;
Systematisk utvalg er enkelt og praktisk;
Bekvemmelighetsutvalg er risikabelt og bør unngås om mulig;
Dokumenter alltid utvalgsmetoden i reelle analyser.

Alt var klart?

Takk for tilbakemeldingene dine!

Seksjon 5. Kapittel 5