Lære Forståelse av Sannsynlighetsgrunnlag | Sannsynlighet og Statistikk

Definisjon

Sannsynlighet er et mål på hvor sannsynlig det er at en hendelse vil inntreffe. Det kvantifiserer usikkerhet og er essensielt innen fagfelt som datavitenskap, statistikk og maskinlæring, hvor det hjelper oss å analysere mønstre, lage prediksjoner og vurdere risiko.

Grunnleggende definisjon av sannsynlighet

Sannsynligheten for at en hendelse $A$ inntreffer er gitt ved:

P(A) = \frac{\text{Number of favorable outcomes}}{\text{Total number of possible outcomes}}

Denne formelen viser hvor mange måter den ønskede hendelsen kan inntreffe sammenlignet med alle mulige utfall. Sannsynlighet varierer alltid fra 0 (umulig) til 1 (sikkert).

Forståelse av utfallsrom og hendelser

Utfallsrom – alle mulige utfall av et eksperiment;
Hendelse – et spesifikt utfall eller en mengde utfall vi er interessert i.

Eksempel med å kaste en mynt:

Utfallsrom = {Heads, Tails} ;
Hendelse A = {Heads} .

Da gjelder:

P(A) = \frac{P(\text{Heads})}{P(\text{Heads}) + P(\text{Tails})} = \frac{0.5}{0.5+0.5} = 0.5

Union-regel: "A ELLER B Inntreffer"

Definisjon: Unionen av to hendelser $A \cup B$ representerer utfall der enten $A$ inntreffer, eller $B$ inntreffer, eller begge inntreffer.

Formel:

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

Vi trekker fra snittet for å unngå dobbeltelling av utfall som forekommer i begge hendelser.

Unionseksempel: Kaste en terning

Vi kaster en seks-sidet terning:

Hendelse A = {1, 2, 3} (kaste et lavt tall)
Hendelse B = {2, 4, 6} (kaste et partall)

Union og snitt:

$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6\}$
$A \cap B = \{2\}$

Beregninger steg for steg:

P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \\[6pt] P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \\[6pt] P(A \cap B) = \frac{1}{6}

Bruk unionformelen:

P(A \cup B) = \frac{3}{6} + \frac{3}{6} - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}

Snittregel: "A OG B Inntreffer Samtidig"

Definisjon: Snittet av to hendelser $A \cap B$ representerer utfall der både $A$ og $B$ inntreffer samtidig.

Generell formel

I alle tilfeller:

P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)

hvor $P(B|A)$ er den betingede sannsynligheten for $B$ gitt at $A$ allerede har inntruffet.

Tilfelle 1: Uavhengige hendelser

Hvis hendelsene ikke påvirker hverandre (f.eks. å kaste en mynt og trille en terning):

P(A \cap B) = P(A) \times P(B)

Eksempel:

$P(\text{Kron på en mynt}) = \frac{\raisebox{1pt}{$1$}}{\raisebox{-1pt}{$2$}}$ ;
$P(\text{6 på en terning}) = \frac{\raisebox{1pt}{$1$}}{\raisebox{-1pt}{$6$}}$ .

Da gjelder:

P(A \cap B) = \tfrac{1}{2} \times \tfrac{1}{6} = \tfrac{1}{12}

Tilfelle 2: Avhengige hendelser

Hvis utfallet av den første hendelsen påvirker den andre (f.eks. å trekke kort uten tilbakelegging):

P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)

Eksempel:

$P(\text{første kort er ess}) = \tfrac{\raisebox{1pt}{$4$}}{52}$ ;
$P(\text{andre kort er ess | første kort var ess}) = \tfrac{\raisebox{1pt}{$3$}}{\raisebox{-1pt}{$51$}}$ .

Da gjelder:

P(A \cap B) = \tfrac{4}{52} \times \tfrac{3}{51} = \tfrac{1}{221}

Alt var klart?

Takk for tilbakemeldingene dine!

Seksjon 5. Kapittel 1

Spør AI

Spør om hva du vil, eller prøv ett av de foreslåtte spørsmålene for å starte chatten vår

Suggested prompts:

Can you explain more about the difference between union and intersection in probability?

Could you give another example using Venn diagrams?

How do conditional probabilities fit into these rules?

Awesome!

Completion rate improved to 1.96

Sveip for å vise menyen

Definisjon

Grunnleggende definisjon av sannsynlighet

Sannsynligheten for at en hendelse $A$ inntreffer er gitt ved:

P(A) = \frac{\text{Number of favorable outcomes}}{\text{Total number of possible outcomes}}

Denne formelen viser hvor mange måter den ønskede hendelsen kan inntreffe sammenlignet med alle mulige utfall. Sannsynlighet varierer alltid fra 0 (umulig) til 1 (sikkert).

Forståelse av utfallsrom og hendelser

Utfallsrom – alle mulige utfall av et eksperiment;
Hendelse – et spesifikt utfall eller en mengde utfall vi er interessert i.

Eksempel med å kaste en mynt:

Utfallsrom = {Heads, Tails} ;
Hendelse A = {Heads} .

Da gjelder:

P(A) = \frac{P(\text{Heads})}{P(\text{Heads}) + P(\text{Tails})} = \frac{0.5}{0.5+0.5} = 0.5

Union-regel: "A ELLER B Inntreffer"

Definisjon: Unionen av to hendelser $A \cup B$ representerer utfall der enten $A$ inntreffer, eller $B$ inntreffer, eller begge inntreffer.

Formel:

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

Vi trekker fra snittet for å unngå dobbeltelling av utfall som forekommer i begge hendelser.

Unionseksempel: Kaste en terning

Vi kaster en seks-sidet terning:

Hendelse A = {1, 2, 3} (kaste et lavt tall)
Hendelse B = {2, 4, 6} (kaste et partall)

Union og snitt:

$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6\}$
$A \cap B = \{2\}$

Beregninger steg for steg:

P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \\[6pt] P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \\[6pt] P(A \cap B) = \frac{1}{6}

Bruk unionformelen:

P(A \cup B) = \frac{3}{6} + \frac{3}{6} - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}

Snittregel: "A OG B Inntreffer Samtidig"

Definisjon: Snittet av to hendelser $A \cap B$ representerer utfall der både $A$ og $B$ inntreffer samtidig.

Generell formel

I alle tilfeller:

P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)

hvor $P(B|A)$ er den betingede sannsynligheten for $B$ gitt at $A$ allerede har inntruffet.

Tilfelle 1: Uavhengige hendelser

Hvis hendelsene ikke påvirker hverandre (f.eks. å kaste en mynt og trille en terning):

P(A \cap B) = P(A) \times P(B)

Eksempel:

$P(\text{Kron på en mynt}) = \frac{\raisebox{1pt}{$1$}}{\raisebox{-1pt}{$2$}}$ ;
$P(\text{6 på en terning}) = \frac{\raisebox{1pt}{$1$}}{\raisebox{-1pt}{$6$}}$ .

Da gjelder:

P(A \cap B) = \tfrac{1}{2} \times \tfrac{1}{6} = \tfrac{1}{12}

Tilfelle 2: Avhengige hendelser

Hvis utfallet av den første hendelsen påvirker den andre (f.eks. å trekke kort uten tilbakelegging):

P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)

Eksempel:

$P(\text{første kort er ess}) = \tfrac{\raisebox{1pt}{$4$}}{52}$ ;
$P(\text{andre kort er ess | første kort var ess}) = \tfrac{\raisebox{1pt}{$3$}}{\raisebox{-1pt}{$51$}}$ .

Da gjelder:

P(A \cap B) = \tfrac{4}{52} \times \tfrac{3}{51} = \tfrac{1}{221}

Alt var klart?

Takk for tilbakemeldingene dine!

Seksjon 5. Kapittel 1