Betinget sannsynlighet

Betinget sannsynlighet måler sjansen for at en hendelse inntreffer gitt at en annen hendelse allerede har skjedd.

Formel:

hvor:

• $P(A \mid B)$ betyr "sannsynligheten for A gitt B";
• $P(A \cap B)$ er sannsynligheten for at både A og B skjer;
• $P(B)$ er sannsynligheten for at B skjer (må være > 0).

Eksempel 1: Betinget sannsynlighet — Vær og trafikk

Anta:

• Hendelse A: "Jeg kommer for sent på jobb";
• Hendelse B: "Det regner".

Gitt:

• $P(A \cap B) = 0.10$ (10 % sjanse for at det regner OG jeg kommer for sent);
• $P(B) = 0.20$ (20 % sjanse for at det regner en hvilken som helst dag).

Da gjelder:

Tolkning:
Hvis det regner, er det 50 % sjanse for at jeg kommer for sent på jobb.

Bayes' teorem

Bayes' teorem hjelper oss å finne $P(A \mid B)$ når det er vanskelig å måle direkte, ved å relatere det til $P(B \mid A)$.

Formel:

Trinnvis gjennomgang

Trinn 1: Forstå $P(A \mid B)$
Dette leses som «sannsynligheten for A gitt B».

Eksempel: Hvis A = «å ha en sykdom» og B = «tester positivt», så spør $P(A \mid B)$:
Gitt en positiv test, hva er sannsynligheten for at personen faktisk har sykdommen?

Trinn 2: Teller = $P(B \mid A) \cdot P(A)$

• $P(B \mid A)$ = sannsynligheten for å teste positivt dersom du har sykdommen (testens sensitivitet);
• $P(A)$ = a priori-sannsynligheten for A (sykdomsprevalens).

Trinn 3: Nevner = $P(B)$
Dette er den totale sannsynligheten for at B inntreffer (tester positivt), både fra sanne positive og falske positive.

Utvidet:

Hvor:

• $P(B \mid \neg A)$ = falsk positiv-rate;
• $P(\neg A)$ = sannsynligheten for ikke å ha sykdommen.

Bayes' teorem — Medisinsk test

Anta:

• Hendelse A: "Å ha en sykdom";
• Hendelse B: "Tester positivt".

Gitt:

• Sykdomsprevalens: $P(A) = 0.01$;
• Sensitivitet: $P(B \mid A) = 0.99$;
• Falsk positiv-rate: $P(B \mid \neg A) = 0.05$.

Steg 1: Beregn total sannsynlighet for å teste positivt

Steg 2: Bruk Bayes' teorem

Tolkning:
Selv om du tester positivt, er det bare omtrent 16,7 % sannsynlighet for at du faktisk har sykdommen — fordi sykdommen er sjelden og det finnes falske positiver.

Viktige punkter

• Betinget sannsynlighet finner sannsynligheten for at A skjer gitt at vi vet at B har inntruffet;
• Bayes' teorem snur betingede sannsynligheter, slik at vi kan oppdatere antakelser når direkte måling er vanskelig;
• Begge konseptene er essensielle innen data science, maskinlæring, medisinsk testing og beslutningstaking.