Summary  
This chapter introduces algebraic functions in code, detailing identity, constant, linear, polynomial, and rational functions—how to define them using arithmetic operations and power expressions and analyze their behavior and graphs.

General domain of usage  
mathematical modeling

En algebraisk funksjon er en hvilken som helst funksjon som kan uttrykkes ved hjelp av grunnleggende aritmetiske operasjoner og variabler.

Definisjon

### 1. Identitetsfunksjon

**Form:**
$$f(x) = x$$

**Egenskaper:**

* Går gjennom origo $$(0, 0)$$;
* En rett linje med stigningstall $$m = 1$$;
* Hver input tilsvarer seg selv;
* Ingen maksimum eller minimum;
* Definisjonsmengde: $$(-\infty, \infty)$$;
* Verdier: $$(-\infty, \infty)$$.

**Bruksområde:** representasjon av uendret data eller som referanse ved transformasjoner.

### 2. Konstant funksjon

**Form:**
$$f(x) = c$$

**Egenskaper:**

* En horisontal linje ved $$y = c$$;
* Utdata forblir konstant for alle inndata;
* Stigningstall: $$m = 0$$;
* Ingen maksimum eller minimum;
* Definisjonsmengde: $$(-\infty, \infty)$$;
* Verdier: $${c}$$.

**Bruksområde:** representerer faste størrelser som basisverdier eller faste avgifter.

### 3. Lineær funksjon

**Form:**
$$f(x) = mx + b$$

**Egenskaper:**

* En rett linje med stigningstall $$m$$;
* Økende hvis $$m > 0$$, avtakende hvis $$m < 0$$;
* X-akse skjæring: $$x = -\frac{b}{m}$$;
* Y-akse skjæring: $$y = b$$;
* Ingen maksimum eller minimum;
* Definisjonsmengde: $$(-\infty, \infty)$$;
* Verdier: $$(-\infty, \infty)$$.

**Bruksområde:** prediksjon av kontinuerlige utfall som inntekter eller kostnader.

### 4. Polynomfunksjon (kvadratisk eksempel)

**Form:**
$$f(x) = ax^2 + bx + c$$

**Egenskaper:**

* Parabelkurve (U-formet hvis $$a > 0$$; omvendt U hvis $$a < 0$$);
* Toppunkt ved $$x = -\frac{b}{2a}$$;
* Nullpunkter (røtter): $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$;
* Y-akse skjæring: $$f(0) = c$$;
* Definisjonsmengde: $$(-\infty, \infty)$$;
* Verdier:
* Hvis $$a > 0$$, så $$[y_{vertex}; \infty)$$;
  * Hvis $$a < 0$$, så $$(-\infty; y_{vertex}]$$.

**Bruksområde:** kurvetilpasning, regresjonsmodeller og beskrivelse av ikke-lineære trender.

### 5. Rasjonal funksjon

**Form:**
$$f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}$$

**Eksempel:**
$$f(x) = \frac{1}{x - 1}$$

**Egenskaper:**

* Vertikal asymptote ved $$x = 1$$;
* Horisontal asymptote ved $$y = 0$$;
* Udefinert ved $$x = 1$$;
* Kraftig økning og reduksjon nær asymptoten;
* Definisjonsmengde: $$(-\infty, 1) \cup (1, \infty)$$;
* Verdier: $$(-\infty, 0) \cup (0, \infty)$$.

**Bruksområde:** modellering av begrensede systemer som endringsrater eller ressursutnyttelse.

Hvilken type funksjon har formen $$f(x) = mx + b$$ og viser en konstant endringsrate?

Behersk de matematiske grunnprinsippene som er essensielle for datavitenskap. Utforsk kjernebegreper innen funksjoner, kalkulus, lineær algebra, sannsynlighet og dimensjonsreduksjon. Bygg både teoretisk forståelse og praktisk programmeringserfaring for å styrke evnen til å analysere data, modellere komplekse systemer og anvende avanserte teknikker innen maskinlæring.

Utforsk grunnlaget for matematiske funksjoner. Lær om ulike typer algebraiske og transcendentale funksjoner, deres egenskaper, og hvordan de kan implementeres i Python for å løse reelle problemer.

Behersk konseptene mengder og rekker, fra grunnleggende operasjoner til praktiske anvendelser. Få praktisk erfaring med å implementere mengdeoperasjoner og arbeide med aritmetiske og geometriske rekker i Python.

Utvikle en solid forståelse av grenser, deriverte, integraler og partiellderiverte. Knytt teori til praksis ved å implementere disse konseptene i Python og anvende dem på optimering gjennom gradient descent.

Bygg solid kunnskap om vektorer, matriser og transformasjoner. Lær dekomponeringsmetoder og egenverdianalyse, samtidig som konseptene styrkes med Python-kodeutfordringer og praktiske anvendelser innen datavitenskap.

Fordyp deg i sannsynlighetsteori og statistikk. Studer betinget sannsynlighet, Bayes’ teorem og statistiske mål. Implementer sentrale konsepter i Python, simuler fordelinger, og styrk ferdighetene dine gjennom utfordringer og quizer.

Algebraiske Funksjoner

Typer og egenskaper

1. Identitetsfunksjon

2. Konstant funksjon

3. Lineær funksjon

4. Polynomfunksjon (kvadratisk eksempel)

5. Rasjonal funksjon