Typer og egenskaper

1. Eksponentialfunksjon

Form:

• $a$: amplitude, skalerer kurven vertikalt;
• $b$: vekst- eller forfallsrate, bestemmer hvor raskt funksjonen øker eller avtar;
• $c$: horisontal forskyvning, flytter kurven til venstre eller høyre;
• $d$: vertikal forskyvning, flytter grafen opp eller ned.

Egenskaper:

• Øker raskt når $b > 0$;
• Avtar mot null når $b < 0$;
• Alltid positiv for alle $x$;
• Går gjennom punktet $(c, a + d)$;
• Definisjonsmengde: $(-\infty, \infty)$;
• Verdier: $(d, \infty)$ hvis $a > 0$, eller $(-\infty, d)$ hvis $a < 0$.

Bruksområde: modellering av befolkningsvekst, radioaktivt forfall og rentesrente.

2. Logaritmefunksjon

Form:

• $a$: amplitude, strekker eller komprimerer kurven vertikalt;
• $b$: grunntall, bestemmer vekst- eller forfallsrate;
• $c$: horisontal forskyvning, flytter grafen til venstre eller høyre;
• $d$: vertikal forskyvning, flytter grafen opp eller ned.

Egenskaper:

• Definert kun for $x > c$;
• Øker sakte når $x$ vokser;
• Går mot negativ uendelig nær $x = c$;
• Går gjennom punktet $(c + 1, d)$;
• Definisjonsmengde: $(c, \infty)$;
• Verdier: $(-\infty, \infty)$.

Bruksområde: måling av data med multiplikative endringer, som pH, lydintensitet eller jordskjelvstyrke.

3. Trigonometisk funksjon

Form:

hvor $\text{trig}$ kan være $\sin$, $\cos$ eller $\tan$.

• $a$: amplitude, styrer bølgens høyde;
• $b$: antall sykluser, angir hvor mange oscillasjoner som oppstår i en periode;
• $c$: horisontal forskyvning, flytter bølgen til venstre eller høyre;
• $d$: vertikal forskyvning, flytter grafen opp eller ned.

Egenskaper:

• Sinus og cosinus: oscillerer periodisk mellom $-a + d$ og $a + d$;
• Tangens: gjentar seg hver $\pi$ og har vertikale asymptoter ved $x = \frac{\raisebox{1pt}{$\pi$}}{\raisebox{-1pt}{$2b$}} + n\pi/b$;
• Alle er periodiske og kontinuerlige innenfor sine definisjonsmengder;
• Definisjonsmengde og verdimengde:
  • $\sin(x), \cos(x)$: definisjonsmengde $(-\infty, \infty)$, verdimengde $[d - a, d + a]$;
  • $\tan(x)$: definisjonsmengde $\mathbb{R} \setminus \left\{ {\frac{\raisebox{1pt}{$\pi$}}{\raisebox{-1pt}{$2b$}} + n\pi/b} \right\}$, verdimengde $(-\infty, \infty)$.

Bruksområde: modellering av sykluser og oscillasjoner innen signalbehandling, fysikk og ingeniørfag.