Notice: This page requires JavaScript to function properly.
Please enable JavaScript in your browser settings or update your browser.Lære Introduksjon til Matrisetransformasjoner | Grunnleggende Lineær Algebra
Matematikk for Datavitenskap

bookIntroduksjon til Matrisetransformasjoner

Matriselikninger

En matriselikning kan skrives som:

Ax⃗=b⃗A \vec{x} = \vec{b}

Hvor:

  • AA er koeffisientmatrisen;
  • x⃗\vec{x} er variabelvektoren;
  • b⃗\vec{b} er konstantvektoren.

Matriserepresentasjon av lineære systemer

Vurder det lineære systemet:

2x+y=5x−y=12x + y = 5 \\ x - y = 1

Dette kan omskrives som:

[211−1][xy]=[51]\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix}

Oppdeling av matrise­multiplikasjon

Multiplikasjon av en matrise med en vektor representerer en lineær kombinasjon:

[abcd][xy]=[ax+bycx+dy]=x[ac]+y[bd]\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ax + by \\ cx + dy \end{bmatrix} = x \begin{bmatrix} a \\ c \end{bmatrix} + y\begin{bmatrix} b \\ d \end{bmatrix}

Eksempelsystem i matriseform

Systemet:

3x+2y=74x−y=53x + 2y = 7 \\ 4x - y = 5

Kan uttrykkes som:

[324−1][xy]=[75]\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 4 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ 5 \end{bmatrix}

Matriser som transformasjoner

En matrise transformerer vektorer i rommet.

For eksempel:

A=[abcd],  v1⃗=[11],  v2⃗=[112]A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix},\ \ \vec{v_1} = \begin{bmatrix}1 \\ 1\end{bmatrix},\ \ \vec{v_2} = \begin{bmatrix}1 \\ \frac{1}{2}\end{bmatrix}

Denne matrisen definerer hvordan aksene transformeres ved multiplikasjon.

Skalering med matriser

For å bruke skalering på en vektor, bruk:

S=[sx00sy]S = \begin{bmatrix} s_x & 0 \\ 0 & s_y \end{bmatrix}

Hvor:

  • sxs_x – skaleringsfaktor i x-retningen;
  • sys_y – skaleringsfaktor i y-retningen.

Eksempel: skalering av punktet (2, 3) med 2:

S=[2002],v⃗=[23]S = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}, \quad \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}

Da får vi:

Sv⃗=[46]S \vec{v} = \begin{bmatrix} 4 \\ 6 \end{bmatrix}

Rotasjon med matriser

For å rotere en vektor med vinkel θ\theta rundt origo:

R=[cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ]R = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}

Eksempel: roter (2, 3) med 90°:

R=[cos⁡90º−sin⁡90ºsin⁡90ºcos⁡90º]=[0−110],v⃗=[23]R = \begin{bmatrix} \cos90º & -\sin90º \\ \sin90º & \cos90º \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \quad \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}

Da får vi:

Rv⃗=[−32]R \vec{v} = \begin{bmatrix} -3 \\ 2 \end{bmatrix}

Speiling over x-aksen

Speilingsmatrise:

M=[100−1],M = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix},

Med v⃗=(2,3)\vec{v} = (2, 3):

Mv⃗=[2−3]M \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ -3 \end{bmatrix}

Skjæringstransformasjon (skjæring i x-retning)

Skjæring forskyver én akse basert på den andre.

For å skjære i x-retning:

M=[1k01]M = \begin{bmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

Hvis k=1.5k = 1.5 og v⃗=(2,3)\vec{v} = (2, 3):

Mv⃗=[6.53]M \vec{v} = \begin{bmatrix} 6.5 \\ 3 \end{bmatrix}

Identitetstransformasjon

Identitetsmatrisen utfører ingen transformasjon:

I=[1001]I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

For enhver vektor v⃗\vec{v}:

Iv⃗=v⃗I \vec{v} = \vec{v}
question mark

Hva er matriseformen til dette ligningssystemet?

2x+y=5x−y=12x + y = 5 \\ x - y = 1

Select the correct answer

Alt var klart?

Hvordan kan vi forbedre det?

Takk for tilbakemeldingene dine!

Seksjon 4. Kapittel 5

Spør AI

expand

Spør AI

ChatGPT

Spør om hva du vil, eller prøv ett av de foreslåtte spørsmålene for å starte chatten vår

Suggested prompts:

Can you explain how to solve a matrix equation for the variables?

What are some real-world applications of matrices and matrix transformations?

Can you show more examples of matrix transformations like rotation or scaling?

Awesome!

Completion rate improved to 1.96

bookIntroduksjon til Matrisetransformasjoner

Sveip for å vise menyen

Matriselikninger

En matriselikning kan skrives som:

Ax⃗=b⃗A \vec{x} = \vec{b}

Hvor:

  • AA er koeffisientmatrisen;
  • x⃗\vec{x} er variabelvektoren;
  • b⃗\vec{b} er konstantvektoren.

Matriserepresentasjon av lineære systemer

Vurder det lineære systemet:

2x+y=5x−y=12x + y = 5 \\ x - y = 1

Dette kan omskrives som:

[211−1][xy]=[51]\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix}

Oppdeling av matrise­multiplikasjon

Multiplikasjon av en matrise med en vektor representerer en lineær kombinasjon:

[abcd][xy]=[ax+bycx+dy]=x[ac]+y[bd]\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ax + by \\ cx + dy \end{bmatrix} = x \begin{bmatrix} a \\ c \end{bmatrix} + y\begin{bmatrix} b \\ d \end{bmatrix}

Eksempelsystem i matriseform

Systemet:

3x+2y=74x−y=53x + 2y = 7 \\ 4x - y = 5

Kan uttrykkes som:

[324−1][xy]=[75]\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 4 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ 5 \end{bmatrix}

Matriser som transformasjoner

En matrise transformerer vektorer i rommet.

For eksempel:

A=[abcd],  v1⃗=[11],  v2⃗=[112]A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix},\ \ \vec{v_1} = \begin{bmatrix}1 \\ 1\end{bmatrix},\ \ \vec{v_2} = \begin{bmatrix}1 \\ \frac{1}{2}\end{bmatrix}

Denne matrisen definerer hvordan aksene transformeres ved multiplikasjon.

Skalering med matriser

For å bruke skalering på en vektor, bruk:

S=[sx00sy]S = \begin{bmatrix} s_x & 0 \\ 0 & s_y \end{bmatrix}

Hvor:

  • sxs_x – skaleringsfaktor i x-retningen;
  • sys_y – skaleringsfaktor i y-retningen.

Eksempel: skalering av punktet (2, 3) med 2:

S=[2002],v⃗=[23]S = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}, \quad \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}

Da får vi:

Sv⃗=[46]S \vec{v} = \begin{bmatrix} 4 \\ 6 \end{bmatrix}

Rotasjon med matriser

For å rotere en vektor med vinkel θ\theta rundt origo:

R=[cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ]R = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}

Eksempel: roter (2, 3) med 90°:

R=[cos⁡90º−sin⁡90ºsin⁡90ºcos⁡90º]=[0−110],v⃗=[23]R = \begin{bmatrix} \cos90º & -\sin90º \\ \sin90º & \cos90º \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \quad \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}

Da får vi:

Rv⃗=[−32]R \vec{v} = \begin{bmatrix} -3 \\ 2 \end{bmatrix}

Speiling over x-aksen

Speilingsmatrise:

M=[100−1],M = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix},

Med v⃗=(2,3)\vec{v} = (2, 3):

Mv⃗=[2−3]M \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ -3 \end{bmatrix}

Skjæringstransformasjon (skjæring i x-retning)

Skjæring forskyver én akse basert på den andre.

For å skjære i x-retning:

M=[1k01]M = \begin{bmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

Hvis k=1.5k = 1.5 og v⃗=(2,3)\vec{v} = (2, 3):

Mv⃗=[6.53]M \vec{v} = \begin{bmatrix} 6.5 \\ 3 \end{bmatrix}

Identitetstransformasjon

Identitetsmatrisen utfører ingen transformasjon:

I=[1001]I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

For enhver vektor v⃗\vec{v}:

Iv⃗=v⃗I \vec{v} = \vec{v}
question mark

Hva er matriseformen til dette ligningssystemet?

2x+y=5x−y=12x + y = 5 \\ x - y = 1

Select the correct answer

Alt var klart?

Hvordan kan vi forbedre det?

Takk for tilbakemeldingene dine!

Seksjon 4. Kapittel 5
some-alt