Hva er egenvektorer og egenverdier?

En egenvektor er en ikke-null vektor som kun endrer størrelse når en matrise anvendes på den. Den tilhørende skalarverdien som beskriver denne endringen er egenverdien.

$$A\vec{v} = \lambda\vec{v}$$

Hvor:

• $A$ er en kvadratisk matrise;
• $\lambda$ er egenverdien;
• $\vec{v}$ er egenvektoren.

Eksempelmatrise og oppsett

Anta:

$$A = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$$

Vi ønsker å finne verdier for $\lambda$ og vektorer $\vec{v}$ slik at:

$$A \vec{v} = \lambda \vec{v}$$

Karakteristisk ligning

For å finne $\lambda$, løs den karakteristiske ligningen:

$$\det(A - \lambda I) = 0$$

Sett inn:

$$\det \begin{bmatrix} 4-\lambda & 1 \\ 2 & 3-\lambda \end{bmatrix} = 0$$

Beregn determinanten:

$$(4-\lambda)(3-\lambda) - 2 = 0$$

Løs:

$$\lambda^2 - 7\lambda + 10 = 0 \\ \lambda = 5, \; \lambda = 2$$

Finn egenvektorer

Løs nå for hver $\lambda$.

For $\lambda = 5$:

Trekk fra:

$$(A - 5I)\vec{v} = 0$$ $$\begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -2 \end{bmatrix} \vec{v} = 0$$

Løs:

$$v_1 = v_2$$

Dermed:

$$\vec{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$$

For $\lambda = 2$:

Trekk fra:

$$(A - 2I)\vec{v} = 0$$ $$\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} \vec{v} = 0$$

Løs:

$$v_1 = -\tfrac{1}{2} v_2$$

Dermed:

$$\vec{v} = \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix}$$

Bekreft egenpar

Når du har en egenverdi $\lambda$ og en egenvektor $\vec{v}$, verifiser at:

$$A \vec{v} = \lambda \vec{v}$$

Eksempel:

$$A \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 5 \end{bmatrix} = 5 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$$

Eksempel:

$$\begin{bmatrix} 2 \\ 2 \end{bmatrix}$$

er også en egenvektor for $\lambda = 5$.

Diagonalisering (Avansert)

Hvis en matrise $A$ har $n$ lineært uavhengige egenvektorer, kan den diagonaliseres:

$$A = PDP^{-1}$$

Hvor:

• $P$ er matrisen med egenvektorer som kolonner;
• $D$ er en diagonal matrise med egenverdier;
• $P^{-1}$ er den inverse av $P$.

Du kan bekrefte diagonalisering ved å sjekke at $A = PDP^{-1}$.
Dette er nyttig for å beregne potenser av $A$:

Eksempel

La:

$$A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$$

Finn egenverdier:

$$\det(A - \lambda I) = 0$$

Løs:

$$\lambda = 3, \; \lambda = 2$$

Finn egenvektorer:

For $\lambda = 3$:

$$\vec{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$$

For $\lambda = 2$:

$$\vec{v} = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}$$

Konstruer $P, D$ og $P^{-1}$:

$$P = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad D = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}, \quad P^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

Beregn:

$$PDP^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = A$$

Bekreftet.

Hvorfor dette er viktig:

For å beregne potenser av $A$, som $A^k$. Siden $D$ er diagonal:

$$A^k = P D^k P^{-1}$$

Dette gjør beregning av matrisepotenser mye raskere.

Viktige notater

• Egenverdier og egenvektorer er retninger som forblir uendret under transformasjon;
• $\lambda$ strekker $\vec{v}$;
• $\lambda = 1$ holder $\vec{v}$ uendret i størrelse.