En student analyserer et enkelt nettverk der flytbalansen kan representeres som et system av lineære ligninger:

Hvor:

• $A$ er en $3 \times 3$ koeffisientmatrise;
• $\vec{b}$ er en vektor med kjente størrelser;
• $\vec{x}$ er vektoren med ukjente som skal bestemmes.

Målet er å finne $\vec{x}$ ved å utføre en LU-dekomponering av matrisen $A$, etterfulgt av fremover- og bakoversubstitusjon. Til slutt skal du sammenligne det beregnede resultatet med NumPys innebygde løser for å bekrefte korrektheten.

Oppgave:

1. Fullfør Python-koden for å:
   • Utføre LU-dekomponering ved å fylle inn de manglende uttrykkene for $L$ og $U$.

• Implementere fremoversubstitusjon for å løse $L\vec{y} = \vec{b}$.
• Implementere bakoversubstitusjon for å løse $U\vec{x} = \vec{y}$.

2. Sammenligne resultatet ditt med np.linalg.solve() for å verifisere nøyaktigheten.