Notice: This page requires JavaScript to function properly.
Please enable JavaScript in your browser settings or update your browser.Lære Introduksjoner til Vektorer | Grunnleggende Lineær Algebra
Matematikk for Datavitenskap

bookIntroduksjoner til Vektorer

Note
Definisjon

En vektor er et matematisk objekt som representerer både retning og størrelse i rommet. I datavitenskap brukes vektorer til å beskrive datapunkter, egenskaper og modellparametere som vekter.

Hva er en vektor?

En vektor er et ordnet par av tall med både størrelse og retning.

v⃗=(x,y)\vec{v} = (x,y)

Vektorer tegnes ofte som piler fra origo til et punkt i rommet. To vektorer anses som like hvis de har samme retning og lengde, selv om de starter på forskjellige steder.

Nullvektoren

Nullvektoren har ingen lengde og ingen retning. Den skrives som:

0⃗=(0,0)\vec{0} = (0, 0)

Vektoraddisjon og -subtraksjon

Addisjon

For å legge sammen to vektorer, legg sammen deres tilsvarende komponenter:

a⃗+b⃗=(a1+b1,  a2+b2)\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, \; a_2 + b_2)

Dette kan visualiseres med:

  • Hale-til-hode-metoden: flytt halen til én vektor til hodet på den andre;
  • Parallellogrammetoden: begge vektorene starter fra samme punkt og danner et parallellogram.

Subtraksjon

For å subtrahere én vektor fra en annen:

a⃗−b⃗=(a1−b1,  a2−b2)\vec{a} - \vec{b} = (a_1 - b_1, \; a_2 - b_2)

Dette gir en ny vektor som peker fra hodet til den andre til hodet til den første.

Skalarmultiplikasjon

Å multiplisere en vektor med et tall (en skalar) strekker eller snur vektoren:

k⋅a⃗=(k⋅a1,  k⋅a2)k \cdot \vec{a} = (k \cdot a_1, \; k \cdot a_2)
  • Hvis k>1k > 1, strekkes vektoren i samme retning;
  • Hvis 0<k<10 < k < 1, krympes vektoren;
  • Hvis k<0k < 0, snus retningen;
  • Hvis k=0k = 0, blir det nullvektoren.

Vektormagnitud (Lengde)

Magnituden eller lengden til en vektor beregnes med Pythagoras’ teorem:

∣a⃗∣=a12+a22|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}

Dette gir den rette linje-avstanden fra origo til vektorens spiss.

Skalarproduktet

Skalarproduktet kombinerer to vektorer til et enkelt tall som reflekterer hvor godt de er rettet mot hverandre:

a⃗⋅b⃗=a1b1+a2b2\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2
  • Hvis resultatet er positivt: vektorene peker i lignende retning;
  • Hvis resultatet er null: vektorene er ortogonale (vinkelrett på hverandre);
  • Hvis resultatet er negativt: de peker i motsatt retning.

Eksempel

Hvis a⃗=(1,2)  and  b⃗=(3,4) \vec{a} = (1, 2)\ \ \text{and}\ \ \vec{b} = (3, 4), da:

a⃗⋅b⃗=1⋅3+2⋅4=11\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 3 + 2 \cdot 4 = 11
question mark

Hvis a⃗=(1,0), b⃗=(0,1)\vec{a} = (1, 0),\ \vec{b} = (0, 1). Da er deres skalarprodukt:

Select the correct answer

Alt var klart?

Hvordan kan vi forbedre det?

Takk for tilbakemeldingene dine!

Seksjon 4. Kapittel 1

Spør AI

expand

Spør AI

ChatGPT

Spør om hva du vil, eller prøv ett av de foreslåtte spørsmålene for å starte chatten vår

Suggested prompts:

Can you explain the difference between the head-to-tail and parallelogram methods for vector addition?

How do you find the magnitude of a vector using its components?

Can you give an example of vector subtraction with numbers?

Awesome!

Completion rate improved to 1.96

bookIntroduksjoner til Vektorer

Sveip for å vise menyen

Note
Definisjon

En vektor er et matematisk objekt som representerer både retning og størrelse i rommet. I datavitenskap brukes vektorer til å beskrive datapunkter, egenskaper og modellparametere som vekter.

Hva er en vektor?

En vektor er et ordnet par av tall med både størrelse og retning.

v⃗=(x,y)\vec{v} = (x,y)

Vektorer tegnes ofte som piler fra origo til et punkt i rommet. To vektorer anses som like hvis de har samme retning og lengde, selv om de starter på forskjellige steder.

Nullvektoren

Nullvektoren har ingen lengde og ingen retning. Den skrives som:

0⃗=(0,0)\vec{0} = (0, 0)

Vektoraddisjon og -subtraksjon

Addisjon

For å legge sammen to vektorer, legg sammen deres tilsvarende komponenter:

a⃗+b⃗=(a1+b1,  a2+b2)\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, \; a_2 + b_2)

Dette kan visualiseres med:

  • Hale-til-hode-metoden: flytt halen til én vektor til hodet på den andre;
  • Parallellogrammetoden: begge vektorene starter fra samme punkt og danner et parallellogram.

Subtraksjon

For å subtrahere én vektor fra en annen:

a⃗−b⃗=(a1−b1,  a2−b2)\vec{a} - \vec{b} = (a_1 - b_1, \; a_2 - b_2)

Dette gir en ny vektor som peker fra hodet til den andre til hodet til den første.

Skalarmultiplikasjon

Å multiplisere en vektor med et tall (en skalar) strekker eller snur vektoren:

k⋅a⃗=(k⋅a1,  k⋅a2)k \cdot \vec{a} = (k \cdot a_1, \; k \cdot a_2)
  • Hvis k>1k > 1, strekkes vektoren i samme retning;
  • Hvis 0<k<10 < k < 1, krympes vektoren;
  • Hvis k<0k < 0, snus retningen;
  • Hvis k=0k = 0, blir det nullvektoren.

Vektormagnitud (Lengde)

Magnituden eller lengden til en vektor beregnes med Pythagoras’ teorem:

∣a⃗∣=a12+a22|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}

Dette gir den rette linje-avstanden fra origo til vektorens spiss.

Skalarproduktet

Skalarproduktet kombinerer to vektorer til et enkelt tall som reflekterer hvor godt de er rettet mot hverandre:

a⃗⋅b⃗=a1b1+a2b2\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2
  • Hvis resultatet er positivt: vektorene peker i lignende retning;
  • Hvis resultatet er null: vektorene er ortogonale (vinkelrett på hverandre);
  • Hvis resultatet er negativt: de peker i motsatt retning.

Eksempel

Hvis a⃗=(1,2)  and  b⃗=(3,4) \vec{a} = (1, 2)\ \ \text{and}\ \ \vec{b} = (3, 4), da:

a⃗⋅b⃗=1⋅3+2⋅4=11\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 3 + 2 \cdot 4 = 11
question mark

Hvis a⃗=(1,0), b⃗=(0,1)\vec{a} = (1, 0),\ \vec{b} = (0, 1). Da er deres skalarprodukt:

Select the correct answer

Alt var klart?

Hvordan kan vi forbedre det?

Takk for tilbakemeldingene dine!

Seksjon 4. Kapittel 1
some-alt