Notice: This page requires JavaScript to function properly.
Please enable JavaScript in your browser settings or update your browser.Lære Matriseoperasjoner | Grunnleggende Lineær Algebra
Matematikk for Datavitenskap

bookMatriseoperasjoner

Note
Definisjon

En matrise er et rektangulært oppsett av tall arrangert i rader og kolonner, brukt for å representere og løse matematiske problemer effektivt.

Før man går videre til lineære ligningssystemer, som Ax⃗=b⃗A\vec{x} = \vec{b}, er det viktig å forstå hvordan matriser oppfører seg og hvilke operasjoner som kan utføres på dem.

Matriseaddisjon

To matriser kan kun adderes hvis de har samme form (samme antall rader og kolonner).

La:

A=[a11a12a21a22],B=[b11b12b21b22]A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{bmatrix}

Da gjelder:

A+B=[a11+b11a12+b12a21+b21a22+b22]A + B = \begin{bmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} \end{bmatrix}

Skalarmultiplikasjon

En matrise kan også multipliseres med en skalar (et enkelt tall):

k⋅A=[ka11ka12ka21ka22]k \cdot A = \begin{bmatrix} k a_{11} & k a_{12} \\ k a_{21} & k a_{22} \end{bmatrix}

Matrisemultiplikasjon og størrelseskompatibilitet

Matrisemultiplikasjon er en rad-ganger-kolonne-operasjon, ikke elementvis.

Regel: Hvis matrise AA har dimensjon (m×n)(m \times n) og matrise BB har dimensjon (n×p)(n \times p), da gjelder:

  • Multiplikasjonen ABAB er gyldig;
  • Resultatet blir en matrise med dimensjon (m×p)(m \times p).

Eksempel:

La:

A=[1234],  B=[56]A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \ \ B = \begin{bmatrix} 5 \\ 6 \end{bmatrix}

AA er (2×2)(2 \times 2) og BB er (2×1)(2 \times 1), da er ABAB gyldig og gir en (2×1)(2 \times 1) matrise:

A⋅B=[1⋅5+2⋅63⋅5+4⋅6]=[1739]A \cdot B = \begin{bmatrix} 1 \cdot 5 + 2 \cdot 6 \\ 3 \cdot 5 + 4 \cdot 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 17 \\ 39 \end{bmatrix}

Transponering av en matrise

Transponeringen av en matrise bytter om rader og kolonner. Det skrives som ATA^T.

La:

A=[1234]A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}

Da gjelder:

AT=[1324]A^T = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}

Egenskaper:

  • (AT)T=A(A^T)^T = A;
  • (A+B)T=AT+BT(A + B)^T = A^T + B^T;
  • (AB)T=BTAT(AB)^T = B^T A^T.

Determinant til en matrise

2×2 matrise

For:

A=[abcd]A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}

Determinanten er:

det⁡(A)=ad−bc\det(A) = ad - bc

3×3 matrise

For:

A=[abcdefghi]A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}

Determinanten er:

det⁡(A)=a(ei−fh)−b(di−fg)+c(dh−eg)\det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)

Denne metoden kalles medutvikling (cofactor expansion).

  • Større matriser (4×4 og oppover) kan utvides rekursivt.
  • Determinanten er nyttig fordi den indikerer om en matrise har en invers (ikke-null determinant).

Invers til en matrise

Inversen til en kvadratisk matrise AA betegnes som A−1A^{-1}. Den oppfyller A⋅A−1=IA \cdot A^{-1} = I, der II er identitetsmatrisen.

Kun kvadratiske matriser med ikke-null determinant har en invers.

Eksempel:

Hvis matrise A er:

A=[abcd]A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}

Da er den inverse matrisen A−1A^{-1}:

A−1=1det⁡(A)[d−b−ca]A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}

Der det⁡(A)≠0\det(A) \neq 0.

question mark

Hva er transponatet til matrisen [1234]\begin{bmatrix}1 & 2 \\3 & 4\end{bmatrix}?

Select the correct answer

Alt var klart?

Hvordan kan vi forbedre det?

Takk for tilbakemeldingene dine!

Seksjon 4. Kapittel 3

Spør AI

expand

Spør AI

ChatGPT

Spør om hva du vil, eller prøv ett av de foreslåtte spørsmålene for å starte chatten vår

Suggested prompts:

Can you explain why matrix multiplication is not element-wise?

How do you find the determinant of larger matrices?

What is the significance of the inverse of a matrix?

Awesome!

Completion rate improved to 1.96

bookMatriseoperasjoner

Sveip for å vise menyen

Note
Definisjon

En matrise er et rektangulært oppsett av tall arrangert i rader og kolonner, brukt for å representere og løse matematiske problemer effektivt.

Før man går videre til lineære ligningssystemer, som Ax⃗=b⃗A\vec{x} = \vec{b}, er det viktig å forstå hvordan matriser oppfører seg og hvilke operasjoner som kan utføres på dem.

Matriseaddisjon

To matriser kan kun adderes hvis de har samme form (samme antall rader og kolonner).

La:

A=[a11a12a21a22],B=[b11b12b21b22]A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{bmatrix}

Da gjelder:

A+B=[a11+b11a12+b12a21+b21a22+b22]A + B = \begin{bmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} \end{bmatrix}

Skalarmultiplikasjon

En matrise kan også multipliseres med en skalar (et enkelt tall):

k⋅A=[ka11ka12ka21ka22]k \cdot A = \begin{bmatrix} k a_{11} & k a_{12} \\ k a_{21} & k a_{22} \end{bmatrix}

Matrisemultiplikasjon og størrelseskompatibilitet

Matrisemultiplikasjon er en rad-ganger-kolonne-operasjon, ikke elementvis.

Regel: Hvis matrise AA har dimensjon (m×n)(m \times n) og matrise BB har dimensjon (n×p)(n \times p), da gjelder:

  • Multiplikasjonen ABAB er gyldig;
  • Resultatet blir en matrise med dimensjon (m×p)(m \times p).

Eksempel:

La:

A=[1234],  B=[56]A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \ \ B = \begin{bmatrix} 5 \\ 6 \end{bmatrix}

AA er (2×2)(2 \times 2) og BB er (2×1)(2 \times 1), da er ABAB gyldig og gir en (2×1)(2 \times 1) matrise:

A⋅B=[1⋅5+2⋅63⋅5+4⋅6]=[1739]A \cdot B = \begin{bmatrix} 1 \cdot 5 + 2 \cdot 6 \\ 3 \cdot 5 + 4 \cdot 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 17 \\ 39 \end{bmatrix}

Transponering av en matrise

Transponeringen av en matrise bytter om rader og kolonner. Det skrives som ATA^T.

La:

A=[1234]A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}

Da gjelder:

AT=[1324]A^T = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}

Egenskaper:

  • (AT)T=A(A^T)^T = A;
  • (A+B)T=AT+BT(A + B)^T = A^T + B^T;
  • (AB)T=BTAT(AB)^T = B^T A^T.

Determinant til en matrise

2×2 matrise

For:

A=[abcd]A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}

Determinanten er:

det⁡(A)=ad−bc\det(A) = ad - bc

3×3 matrise

For:

A=[abcdefghi]A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}

Determinanten er:

det⁡(A)=a(ei−fh)−b(di−fg)+c(dh−eg)\det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)

Denne metoden kalles medutvikling (cofactor expansion).

  • Større matriser (4×4 og oppover) kan utvides rekursivt.
  • Determinanten er nyttig fordi den indikerer om en matrise har en invers (ikke-null determinant).

Invers til en matrise

Inversen til en kvadratisk matrise AA betegnes som A−1A^{-1}. Den oppfyller A⋅A−1=IA \cdot A^{-1} = I, der II er identitetsmatrisen.

Kun kvadratiske matriser med ikke-null determinant har en invers.

Eksempel:

Hvis matrise A er:

A=[abcd]A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}

Da er den inverse matrisen A−1A^{-1}:

A−1=1det⁡(A)[d−b−ca]A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}

Der det⁡(A)≠0\det(A) \neq 0.

question mark

Hva er transponatet til matrisen [1234]\begin{bmatrix}1 & 2 \\3 & 4\end{bmatrix}?

Select the correct answer

Alt var klart?

Hvordan kan vi forbedre det?

Takk for tilbakemeldingene dine!

Seksjon 4. Kapittel 3
some-alt