Lære Implementering av Matrise-Transformasjon i Python

Løsning av et lineært ligningssystem

Vi definerer et ligningssystem:

2x + y = 5 \\ x - y = 1

Dette kan skrives om som:


              123456789
            
import numpy as np

A = np.array([[2, 1],   # Coefficient matrix
              [1, -1]])

b = np.array([5, 1])    # Constants (RHS)

x_solution = np.linalg.solve(A, b)
print(x_solution)

Dette finner verdiene til $x$ og $y$ som oppfyller begge ligningene.

Hvorfor dette er viktig: Å løse ligningssystemer er grunnleggende i data science – fra tilpasning av lineære modeller til løsning av optimeringsbetingelser.

Anvendelse av lineære transformasjoner

Vi definerer en vektor:

v = np.array([[2], [3]])

Deretter anvender vi to transformasjoner:

Skalering

Vi strekker $x$ med 2 og komprimerer $y$ med 0,5:

S = np.array([[2, 0],
              [0, 0.5]])

scaled_v = S @ v

Dette utfører:

S \cdot v = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 1.5 \end{bmatrix}

Rotasjon

Vi roterer vektoren $90°$ mot klokken ved å bruke rotasjonsmatrisen:

theta = np.pi / 2
R = np.array([[np.cos(theta), -np.sin(theta)],
              [np.sin(theta),  np.cos(theta)]])

rotated_v = R @ v

Dette gir:

R \cdot v = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 \\ 2 \end{bmatrix}

Visualisering av transformasjonene

Ved å bruke matplotlib plottes hver vektor fra origo, med koordinatene merket:


              1234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647
            
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Define original vector
v = np.array([[2], [3]])

# Scaling
S = np.array([[2, 0],
              [0, 0.5]])
scaled_v = S @ v

# Rotation
theta = np.pi / 2
R = np.array([[np.cos(theta), -np.sin(theta)],
              [np.sin(theta),  np.cos(theta)]])
rotated_v = R @ v

# Vizualization
origin = np.zeros(2)
fig, ax = plt.subplots(figsize=(6, 6))

# Plot original
ax.quiver(*origin, v[0], v[1], angles='xy', scale_units='xy', scale=1, color='blue', label='Original')

# Plot scaled
ax.quiver(*origin, scaled_v[0], scaled_v[1], angles='xy', scale_units='xy', scale=1, color='green', label='Scaled')

# Plot rotated
ax.quiver(*origin, rotated_v[0], rotated_v[1], angles='xy', scale_units='xy', scale=1, color='red', label='Rotated')

# Label vector tips
ax.text(v[0][0]+0.2, v[1][0]+0.2, "(2, 3)", color='blue')
ax.text(scaled_v[0][0]+0.2, scaled_v[1][0]+0.2, "(4, 1.5)", color='green')
ax.text(rotated_v[0][0]-0.6, rotated_v[1][0]+0.2, "(-3, 2)", color='red')

# Draw coordinate axes
ax.annotate("", xy=(5, 0), xytext=(0, 0), arrowprops=dict(arrowstyle="->", linewidth=1.5))
ax.annotate("", xy=(0, 5), xytext=(0, 0), arrowprops=dict(arrowstyle="->", linewidth=1.5))
ax.text(5.2, 0, "X", fontsize=12)
ax.text(0, 5.2, "Y", fontsize=12)

ax.set_xlim(-5, 5)
ax.set_ylim(-5, 5)
ax.set_aspect('equal')
ax.grid(True)
ax.legend()
plt.show()

Hvorfor dette er viktig: datasvitenskapsarbeidsflyter inkluderer ofte transformasjoner, for eksempel:

Hovedkomponentanalyse – roterer data;
Funksjonsnormalisering – skalerer akser;
Dimensjonsreduksjon – projeksjoner.

Ved å visualisere vektorer og deres transformasjoner, ser vi hvordan matriser bokstavelig talt flytter og omformer data i rommet.

Alt var klart?

Takk for tilbakemeldingene dine!

Seksjon 4. Kapittel 6

Spør AI

Spør om hva du vil, eller prøv ett av de foreslåtte spørsmålene for å starte chatten vår

Suggested prompts:

Can you explain how the solution to the system of equations is calculated?

How does the scaling and rotation transformation affect the original vector?

Can you walk me through the visualization code and what each part does?

Awesome!

Completion rate improved to 1.96

Sveip for å vise menyen