Lære Introduksjoner til Derivasjon

Definisjon

Et derivat er et mål på hvordan en funksjon endrer seg når dens input endres. Det representerer endringsraten til funksjonen og er grunnleggende for å analysere trender, optimalisere prosesser og forutsi atferd innenfor fagområder som fysikk, økonomi og maskinlæring.

Grensedefinisjonen av et derivat

Derivatet til en funksjon $f(x)$ i et spesifikt punkt $x = a$ er gitt ved:

\lim_{h \rarr 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}

Denne formelen viser hvor mye $f(x)$ endres når vi tar et lite steg $h$ langs x-aksen. Jo mindre $h$ blir, desto nærmere kommer vi den øyeblikkelige endringsraten.

Grunnleggende derivasjonsregler

Potensregelen

Hvis en funksjon er en potens av $x$ , følger derivatet:

\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}

Dette betyr at når vi deriverer, tar vi eksponenten ned og reduserer den med én:

\frac{d}{dx}x^3=3x^2

Konstantregelen

Derivert av en konstant er null:

\frac{d}{dx}C=0

For eksempel, hvis $f(x) = 5$ , da:

\frac{d}{dx}5=0

Sum- og differensregelen

Derivert av en sum eller differens av funksjoner følger:

\frac{d}{dx} \left[ f(x) \pm g(x) \right] = f'(x) \pm g'(x)

For eksempel, derivasjon hver for seg:

\frac{d}{dx}(x^3 + 2x) = 3x^2 + 2

Produkt- og kvotientregler

Produktregelen

Hvis to funksjoner multipliseres, finnes den deriverte slik:

\frac{d}{dx}[f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

Dette innebærer å derivere hver funksjon for seg og deretter summere produktene. Hvis $f(x)=x^2$ og $g(x) = e^x$ , da:

\frac{d}{dx}[x^2e^x] = 2xe^x + x^2e^x

Kvotientregelen

Ved divisjon av funksjoner, bruk:

\frac{d}{dx} \left[ \frac{f(x)}{g(x)} \right] = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}

Hvis $f(x)=x^2$ og $g(x)=x+1$ , da:

\frac{d}{dx} \left[ \frac{x^2}{x + 1} \right] = \frac{2x(x+1) - x^2(1)}{(x+1)^2}

Kjerneregel: Derivasjon av sammensatte funksjoner

Ved derivasjon av nestede funksjoner, bruk:

\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)

For eksempel, hvis $y = (3x + 2)^5$ , da:

\frac{d}{dx}(3x+2)^5 = 5(3x+2)^4 \cdot 3 = 15(3x+2)^4

Denne regelen er essensiell i nevrale nettverk og maskinlæringsalgoritmer.

Eksempel på kjerneregel med eksponentialfunksjon:

Ved derivasjon av uttrykk som:

y =e^{2x^2}

Her har du en sammensatt funksjon:

Ytre funksjon: $e^u$
Indre funksjon: $u = 2x^2$

Bruk kjerneregelen trinnvis:

\frac{d}{dx}2x^2=4x

Deretter multipliserer du med den opprinnelige eksponentialfunksjonen:

\frac{d}{dx}\left( e^{2x^2} \right) = 4x \cdot e^{2x^2}

Studer mer

I maskinlæring og nevrale nettverk oppstår dette når man arbeider med eksponentielle aktiveringsfunksjoner eller tapfunksjoner.

Eksempel på logaritmisk kjerneregel:

La oss derivere $\ln(2x)$ . Dette er igjen en sammensatt funksjon — logaritme ytterst, lineær funksjon innerst.

Deriver den indre delen:

\frac{d}{dx}(2x)=2

Nå bruker vi kjerneregelen på logaritmen:

\frac{d}{dx}\ln(2x) = \frac{1}{2x} \cdot 2

Som forenkles til:

\frac{d}{dx}\ln(2x) = \frac{2}{2x} = \frac{1}{x}

Merk

Selv om du deriverer $\ln(kx)$ , er resultatet alltid $\frac{\raisebox{1pt}{$1$}}{\raisebox{-1pt}{$x$}}$ fordi konstantene kansellerer hverandre.

Spesiell tilfelle: Derivert av sigmoidfunksjonen

Sigmoidfunksjonen brukes ofte i maskinlæring:

\sigma(x) = \frac{1}{1+x^{-x}}

Dens deriverte spiller en sentral rolle i optimalisering:

\sigma'(x) = \sigma(x)(1 - \sigma(x))

Hvis $f(x) = \frac{\raisebox{1pt}{$1$}}{\raisebox{-3pt}{$1 + e^{-x}$}}$ , så gjelder:

f'(x) = \frac{e^{-x}}{(1 + e^{-x})^2}

Denne formelen sikrer at gradientene forblir jevne under trening.

Alt var klart?

Takk for tilbakemeldingene dine!

Seksjon 3. Kapittel 3

Spør AI

Spør om hva du vil, eller prøv ett av de foreslåtte spørsmålene for å starte chatten vår

Sveip for å vise menyen