Summary  
This chapter demonstrates how to compute and analyze different types of limits—finite, infinite, and non‐existent—symbolically in Python using Sympy’s limit function, handle division-by-zero cases, and plot functions with their horizontal and vertical asymptotes.  

General domain of usage  
Mathematical function analysis (calculus)

Før du utforsker hvordan grenser oppfører seg visuelt, må du vite hvordan du **beregner dem direkte** ved hjelp av `sympy`-biblioteket.
Her er tre vanlige typer grenser du vil møte på.

## 1. Endelig grense

Dette eksemplet viser en funksjon som nærmer seg en **spesifikk endelig verdi** når $$x \to 2$$.

import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
f = (x**2 - 4) / (x - 2)

# Compute the limit as x approaches 2
limit_value = sp.limit(f, x, 2)
print("Limit of f(x) as x approaches 2:", limit_value)

## 2. Grense som ikke eksisterer

Her oppfører funksjonen seg forskjellig fra venstre og høyre side, så grensen **eksisterer ikke**.

import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
f = (2 - x)

# Compute the limit as x approaches infinity and negative infinity
left_limit = sp.limit(f, x, -sp.oo)
right_limit = sp.limit(f, x, sp.oo)

print("Left-hand limit:", left_limit)
print("Right-hand limit:", right_limit)

## 3. Uendelig grense

Dette eksemplet viser en funksjon som **nærmer seg null** når (x) blir uendelig stor.


import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
f = 1 / x

# Compute the limit as x approaches infinity
limit_value = sp.limit(f, x, sp.oo)
print("Limit of 1/x as x approaches infinity:", limit_value)

Disse korte kodestykkene viser hvordan du bruker `sympy.limit()` til å beregne ulike typer grenser – endelige, udefinerte og uendelige – før de analyseres grafisk


Last ned kode fra en video

## Definere funksjonene

```
f_diff = (2 - x)  # Approaches +∞ as x → -∞ and -∞ as x → +∞
f_same = 1 / x  # Approaches 0 as x → ±∞
f_special = sp.sin(x) / x  # Special limit sin(x)/x
```
- `f_diff`: en enkel lineær funksjon der venstre- og høyregrensen divergerer;
- `f_same`: den klassiske inverse funksjonen, som nærmer seg samme grense fra begge sider;
- `f_special`: en kjent grense i kalkulus, som er lik **1** når $$x \to 0$$.


## Håndtering av divisjon med null

```
y_vals_same = [f_same.subs(x, val).evalf() if val != 0 else np.nan for val in x_vals]
y_vals_special = [f_special.subs(x, val).evalf() if val != 0 else 1 for val in x_vals]
```

- Funksjonen `f_same = 1/x` har et problem ved $$x = 0$$ (divisjon med null), så vi erstatter dette med `NaN` (Not a Number) for å unngå feil;
- For `f_special` vet vi at $$\lim_{\raisebox{-1pt}{$x \to 0$}}\frac{\raisebox{1pt}{$sin(x)$}}{\raisebox{-1pt}{$x$}} = 1$$, så vi setter manuelt $$1$$ når $$x = 0$$.

## Plotting av horisontale asymptoter

```
axs[1].axhline(0, color='blue', linestyle='dashed', linewidth=2, label='y = 0 (horizontal asymptote)')
axs[2].axhline(1, color='red', linestyle='dashed', linewidth=2, label=r"$y = 1$ (horizontal asymptote)")
```

- Funksjonen `1/x` har en horisontal asymptote ved $$y = 0$$;
- Funksjonen `sin(x)/x` nærmer seg $$y = 1$$, så vi legger til en **stiplet rød linje** for visuell tydelighet.

Hvilken `sympy`-funksjon brukes for å beregne grensen til en funksjon i Python?

Behersk de matematiske grunnprinsippene som er essensielle for datavitenskap. Utforsk kjernebegreper innen funksjoner, kalkulus, lineær algebra, sannsynlighet og dimensjonsreduksjon. Bygg både teoretisk forståelse og praktisk programmeringserfaring for å styrke evnen til å analysere data, modellere komplekse systemer og anvende avanserte teknikker innen maskinlæring.

Utforsk grunnlaget for matematiske funksjoner. Lær om ulike typer algebraiske og transcendentale funksjoner, deres egenskaper, og hvordan de kan implementeres i Python for å løse reelle problemer.

Behersk konseptene mengder og rekker, fra grunnleggende operasjoner til praktiske anvendelser. Få praktisk erfaring med å implementere mengdeoperasjoner og arbeide med aritmetiske og geometriske rekker i Python.

Utvikle en solid forståelse av grenser, deriverte, integraler og partiellderiverte. Knytt teori til praksis ved å implementere disse konseptene i Python og anvende dem på optimering gjennom gradient descent.

Bygg solid kunnskap om vektorer, matriser og transformasjoner. Lær dekomponeringsmetoder og egenverdianalyse, samtidig som konseptene styrkes med Python-kodeutfordringer og praktiske anvendelser innen datavitenskap.

Fordyp deg i sannsynlighetsteori og statistikk. Studer betinget sannsynlighet, Bayes’ teorem og statistiske mål. Implementer sentrale konsepter i Python, simuler fordelinger, og styrk ferdighetene dine gjennom utfordringer og quizer.

Implementering av Grenser i Python

1. Endelig grense

2. Grense som ikke eksisterer

3. Uendelig grense

Definere funksjonene

Håndtering av divisjon med null

Plotting av horisontale asymptoter