Lære Implementering av Grenser i Python

Før du utforsker hvordan grenser oppfører seg visuelt, må du vite hvordan du beregner dem direkte ved hjelp av sympy-biblioteket. Her er tre vanlige typer grenser du vil møte på.

1. Endelig grense

Dette eksemplet viser en funksjon som nærmer seg en spesifikk endelig verdi når $x \to 2$ .


              12345678
            
import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
f = (x**2 - 4) / (x - 2)

# Compute the limit as x approaches 2
limit_value = sp.limit(f, x, 2)
print("Limit of f(x) as x approaches 2:", limit_value)

2. Grense som ikke eksisterer

Her oppfører funksjonen seg forskjellig fra venstre og høyre side, så grensen eksisterer ikke.


              1234567891011
            
import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
f = (2 - x)

# Compute the limit as x approaches infinity and negative infinity
left_limit = sp.limit(f, x, -sp.oo)
right_limit = sp.limit(f, x, sp.oo)

print("Left-hand limit:", left_limit)
print("Right-hand limit:", right_limit)

3. Uendelig grense

Dette eksemplet viser en funksjon som nærmer seg null når (x) blir uendelig stor.


              12345678
            
import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
f = 1 / x

# Compute the limit as x approaches infinity
limit_value = sp.limit(f, x, sp.oo)
print("Limit of 1/x as x approaches infinity:", limit_value)

Disse korte kodestykkene viser hvordan sympy.limit() kan brukes til å beregne ulike typer grenser – endelige, udefinerte og uendelige – før de analyseres grafisk

Definere funksjonene

f_diff = (2 - x)  # Approaches 2 as x → -∞ and -∞ as x → +∞
f_same = 1 / x  # Approaches 0 as x → ±∞
f_special = sp.sin(x) / x  # Special limit sin(x)/x

f_diff: en enkel lineær funksjon der venstre- og høyregrense divergerer;
f_same: den klassiske inverse funksjonen, som nærmer seg samme grense fra begge sider;
f_special: en kjent grense i kalkulus, som er lik 1 når $x \to 0$ .

Håndtering av divisjon med null

y_vals_same = [f_same.subs(x, val).evalf() if val != 0 else np.nan for val in x_vals]
y_vals_special = [f_special.subs(x, val).evalf() if val != 0 else 1 for val in x_vals]

Funksjonen f_same = 1/x har et problem ved $x = 0$ (divisjon med null), så vi erstatter dette med NaN (Not a Number) for å unngå feil;
For f_special vet vi at $\lim_{\raisebox{-1pt}{$x \to 0$}}\frac{\raisebox{1pt}{$sin(x)$}}{\raisebox{-1pt}{$x$}} = 1$ , så vi setter manuelt $1$ når $x = 0$ .

Plotting av horisontale asymptoter

axs[1].axhline(0, color='blue', linestyle='dashed', linewidth=2, label='y = 0 (horizontal asymptote)')
axs[2].axhline(1, color='red', linestyle='dashed', linewidth=2, label=r"$y = 1$ (horizontal asymptote)")

Funksjonen 1/x har en horisontal asymptote ved $y = 0$ ;
Funksjonen sin(x)/x nærmer seg $y = 1$ , så vi legger til en stiplet rød linje for visuell tydelighet.

Alt var klart?

Takk for tilbakemeldingene dine!

Seksjon 3. Kapittel 2

Spør AI

Spør om hva du vil, eller prøv ett av de foreslåtte spørsmålene for å starte chatten vår

Suggested prompts:

Can you explain more about how to interpret the results of these limits?

What is the significance of horizontal asymptotes in these examples?

Could you provide more details about the special limit involving sin(x)/x?

Awesome!

Completion rate improved to 1.96

Sveip for å vise menyen