Lære Introduksjon til Rekker | Mengder og Rekker

Definisjon

En rekke er et matematisk uttrykk som dannes ved å summere leddene i en følge. De vanligste typene er aritmetiske rekker og geometriske rekker, som skiller seg i hvordan leddene utvikler seg.

Aritmetiske rekker

En aritmetisk rekke dannes når differansen mellom påfølgende ledd i en følge er konstant.

2, 5, 8, 11, 14, ...; (\text{common difference}, d = 3)

Summen av de første $n$ leddene i en aritmetisk rekke er gitt ved:

S_n = \frac{n}{2} \cdot (a + l)

Hvor:

$n$ - antall ledd;
$a$ - første ledd;
$l$ - siste ledd.

Alternativt, hvis det siste leddet $l$ ikke er kjent:

S_n = \frac{n}{2} \cdot 2a + (n - 1) \cdot d

Eksempel

Finn summen av de første 10 leddene i rekken $2,5,8,...$

S_{10} = \frac{10}{2} \cdot (2 + (10 - 1) \cdot 3) = 5 \cdot (2 + 27) = 145

Geometrisk rekke

En geometrisk rekke dannes når hvert ledd i sekvensen multipliseres med en fast kvotient for å få neste ledd.

3,6,12,24,48,...;(\text{common ratio}, r=2)

Summen av de første $n$ leddene i en geometrisk rekke er gitt ved:

S_n = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r},\ r \neq 1

Hvor:

$a$ – første ledd;
$r$ – felles kvotient;
$n$ – antall ledd.

Hvis rekken er uendelig og $|r|<1$ :

S = \frac{a}{1 - r}

Eksempel:

Finn summen av de første 4 leddene i rekken $3,6,12,24,...$

S_4 = 3 \cdot \frac{1-2^4}{1-2} = 3 \cdot \frac{1-16}{-1}=3 \cdot 15 = 45

Virkelige anvendelser

Aritmetiske og geometriske rekker forekommer i mange datasammenhenger:

Befolkningsvekst og ressursmodellering gjennom geometriske fremskrivninger;
Finansiell analyse ved bruk av rentesrente-beregninger;
Inntektsprognoser over tidsperioder;
Maskinlæring, der summeringer forekommer i algoritmer som gradient descent.

Alt var klart?

Takk for tilbakemeldingene dine!

Seksjon 2. Kapittel 4

Spør AI

Spør om hva du vil, eller prøv ett av de foreslåtte spørsmålene for å starte chatten vår

Suggested prompts:

Can you explain the difference between arithmetic and geometric series in simpler terms?

Can you show more real-world examples where these series are used?

How do I know when to use an arithmetic series formula versus a geometric series formula?

Awesome!

Completion rate improved to 1.96

Sveip for å vise menyen

Definisjon

Aritmetiske rekker

En aritmetisk rekke dannes når differansen mellom påfølgende ledd i en følge er konstant.

2, 5, 8, 11, 14, ...; (\text{common difference}, d = 3)

Summen av de første $n$ leddene i en aritmetisk rekke er gitt ved:

S_n = \frac{n}{2} \cdot (a + l)

Hvor:

$n$ - antall ledd;
$a$ - første ledd;
$l$ - siste ledd.

Alternativt, hvis det siste leddet $l$ ikke er kjent:

S_n = \frac{n}{2} \cdot 2a + (n - 1) \cdot d

Eksempel

Finn summen av de første 10 leddene i rekken $2,5,8,...$

S_{10} = \frac{10}{2} \cdot (2 + (10 - 1) \cdot 3) = 5 \cdot (2 + 27) = 145

Geometrisk rekke

En geometrisk rekke dannes når hvert ledd i sekvensen multipliseres med en fast kvotient for å få neste ledd.

3,6,12,24,48,...;(\text{common ratio}, r=2)

Summen av de første $n$ leddene i en geometrisk rekke er gitt ved:

S_n = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r},\ r \neq 1

Hvor:

$a$ – første ledd;
$r$ – felles kvotient;
$n$ – antall ledd.

Hvis rekken er uendelig og $|r|<1$ :

S = \frac{a}{1 - r}

Eksempel:

Finn summen av de første 4 leddene i rekken $3,6,12,24,...$

S_4 = 3 \cdot \frac{1-2^4}{1-2} = 3 \cdot \frac{1-16}{-1}=3 \cdot 15 = 45

Virkelige anvendelser

Aritmetiske og geometriske rekker forekommer i mange datasammenhenger:

Befolkningsvekst og ressursmodellering gjennom geometriske fremskrivninger;
Finansiell analyse ved bruk av rentesrente-beregninger;
Inntektsprognoser over tidsperioder;
Maskinlæring, der summeringer forekommer i algoritmer som gradient descent.

Alt var klart?

Takk for tilbakemeldingene dine!

Seksjon 2. Kapittel 4