Cosinuslikhet og Pearson-korrelasjon

Kosinuslikhet

Kosinuslikhet er et mål som kvantifiserer likheten mellom to vektorer ved å måle kosinus til vinkelen mellom dem. Det er matematisk definert som:

Cosine Similarity = $\frac {\sum_{i=1}^{n} A_i B_i} {\sqrt{\sum_{i=1}^{n} A_i^2} \cdot \sqrt{\sum_{i=1}^{n} B_i^2}}$

hvor A og B er bruker- eller elementvektorer. Geometrisk fanger kosinuslikhet opp hvor godt to vektorer er på linje, uavhengig av størrelsen deres. En verdi på 1 betyr at vektorene peker i samme retning (maksimal likhet), 0 betyr at de er ortogonale (ingen likhet), og -1 betyr at de peker i motsatt retning. Ved atferdsmatching er kosinuslikhet nyttig når mønsteret i preferansene er viktigere enn de absolutte verdiene, for eksempel når man sammenligner brukere som vurderer elementer på ulike skalaer.

Pearson-korrelasjon

Pearson-korrelasjon måler det lineære forholdet mellom to vektorer, og tar hensyn til både retning og gjennomsnittet av dataene. Formelen er:

$\text{Pearson Correlation} = \frac{\sum_{i=1}^{n} (A_i - \bar{A})(B_i - \bar{B})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n} (A_i - \bar{A})^2} \cdot \sqrt{\sum_{i=1}^{n} (B_i - \bar{B})^2}}$

hvor $\bar{A}$ og $\bar{B}$ er gjennomsnittene til vektorene A og B. Pearson-korrelasjon varierer fra -1 (perfekt negativt lineært forhold) til 1 (perfekt positivt lineært forhold), med 0 som indikerer intet lineært forhold. Dette målet er spesielt nyttig når man ønsker å sammenligne brukere eller elementer etter å ha fjernet individuelle skjevheter, for eksempel når én bruker har en tendens til å gi alt høyere eller lavere vurderinger enn en annen.

Sammenligning

Eksempel: Beregning av begge metrikker

Anta at du har to brukere som har vurdert fire elementer. Deres vurderinger er:

• Bruker 1: [4, 0, 3, 5]
• Bruker 2: [5, 1, 2, 4]

Du kan beregne både cosinuslikhet og Pearson-korrelasjon for disse vektorene for å sammenligne deres atferdslikhet.

Trinnvis forklaring av koden

Definering av brukerens vurderingsarrayer

• user1 = np.array([4, 0, 3, 5]);
• user2 = np.array([5, 1, 2, 4]);

Du oppretter to NumPy-arrayer, hver som representerer en brukers vurderinger for fire elementer. Disse arrayene er brukerens vektorer.

Definering av cosinuslikhetsfunksjonen

def cosine_similarity(a, b):
    dot_product = np.dot(a, b)
    norm_a = np.linalg.norm(a)
    norm_b = np.linalg.norm(b)
    return dot_product / (norm_a * norm_b)

• Beregning av skalarprodukt: dot_product = np.dot(a, b);
  Multipliserer tilsvarende elementer i de to vektorene og summerer dem. Dette måler hvor mye de to vektorene peker i samme retning.
• Beregning av normer:
  norm_a = np.linalg.norm(a);
norm_b = np.linalg.norm(b);
  Beregner lengden (magnituden) til hver brukervektor. Normen er kvadratroten av summen av kvadratene til vektorens elementer.
• Beregning av likhet: return dot_product / (norm_a * norm_b);
  Dividerer skalarproduktet med produktet av de to normene. Resultatet er cosinus til vinkelen mellom de to vektorene, som indikerer deres likhet.

Beregning av cosinuslikhet og utskrift
cos_sim = cosine_similarity(user1, user2);
print(f"Cosine Similarity: {cos_sim:.4f}");
Du kaller funksjonen med brukervektorene for å beregne deres cosinuslikhet, og skriver deretter ut resultatet formatert til fire desimaler.

Beregning av Pearson-korrelasjon og utskrift
pearson_corr = np.corrcoef(user1, user2)[0, 1];
print(f"Pearson Correlation: {pearson_corr:.4f}");
Du bruker np.corrcoef for å beregne Pearson-korrelasjonsmatrisen for de to brukervektorene. Verdien på posisjon [0, 1] gir korrelasjonen mellom bruker 1 og bruker 2. Utskrift av denne verdien viser hvor sterkt brukernes vurderingsmønstre er lineært relatert etter at gjennomsnittlig vurderingsskjevhet er fjernet.