Lineær algebra spiller en avgjørende rolle i bildebehandling. Siden digitale bilder representeres som matriser av pikselverdier, kan matematiske operasjoner som transformasjoner, skalering og rotasjoner utføres ved hjelp av matriseoperasjoner. Her gjennomgås de viktigste lineæralgebraiske konseptene som brukes i datamaskinsyn.

Bilderepresentasjon som matriser

Et digitalt bilde er i hovedsak et rutenett av piksler, og hver piksel har en intensitetsverdi. I gråtonede bilder er dette en 2D-matrise, der hver oppføring tilsvarer et lysstyrkenivå (0 for svart, 255 for hvit). For eksempel kan et enkelt 6×6 gråtonebilde se slik ut:

Fargebilder derimot er 3D-matriser (også kalt tensorer), med separate lag for Rød, Grønn og Blå (RGB).

Gråtonebilder har en form på (60, 60), noe som betyr at de består av 60 rader og 60 kolonner, hvor hver piksel representerer én enkelt intensitetsverdi – det finnes kun én fargekanal. Til sammenligning har RGB-bilder en form på (60, 60, 3), som indikerer samme romlige oppløsning (60 rader og 60 kolonner), men med en ekstra dimensjon for farge: hver piksel inneholder tre verdier som tilsvarer de røde, grønne og blå kanalene som sammen definerer den fulle fargen på det punktet.

Lineær algebra-transformasjoner for bildebehandling

Flere bildebehandlingsteknikker er avhengige av matriseoperasjoner, noe som gjør lineær algebra til en sentral del av datamaskinsyn. Her gjennomgås de mest brukte transformasjonene.

Bildeskalering (Endring av størrelse)

Skalering øker eller reduserer størrelsen på et bilde. Dette oppnås ved å multiplisere bildematrise med en skaleringsmatrise:

der s_x og s_y er skaleringsfaktorer for henholdsvis bredde og høyde. Eksempel: Hvis vi ønsker å doble størrelsen på et bilde, bruker vi:

Å multiplisere denne matrisen med hver pikselkoordinat skalerer bildet opp.

Bildedreiing

For å rotere et bilde med en vinkel θ, bruker vi en rotasjonsmatrise:

For eksempel innebærer det å rotere et bilde 90 grader med klokken bruk av:

Å bruke denne transformasjonen flytter hver piksel til en ny posisjon, noe som effektivt roterer bildet.

Forskyvning (Skjevstilling av et bilde)

Forskyvning forvrenger et bilde ved å flytte dets rader eller kolonner. Transformasjonsmatrisen for forskyvning er:

der ω_x og ω_y definerer hvor mye bildet skjeves horisontalt og vertikalt. Å forskyve et bilde 30 % horisontalt og 20 % vertikalt:

Hvorfor lineær algebra er viktig i datamaskinsyn

Lineær algebra er grunnlaget for mange bildebehandlingsoppgaver, inkludert:

• Objektgjenkjenning (avgrensningsbokser er avhengige av transformasjoner);
• Ansiktsgjenkjenning (egenvektorer og PCA for utvinning av trekk);
• Bildeforbedring (filtrering bruker matrise-konvolusjoner);
• Nevrale nettverk (vekter lagres som matriser).

Ved å forstå disse grunnleggende operasjonene kan vi manipulere bilder effektivt og utvikle mer avanserte datamaskinsyn-applikasjoner.