Summary  
This chapter explains how to calculate variance and covariance for one or more variables and how to construct a covariance matrix by centering data and using matrix operations.  

General domain of usage  
Statistical data analysis

**Variantie** meet hoeveel een variabele afwijkt van haar gemiddelde.

Definitie

De formule voor **variantie** van een variabele $$x$$ is:

$$
\mathrm{Var}(x) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2
$$

**Covariantie** meet hoe twee variabelen samen veranderen.

De formule voor **covariantie** van variabelen $$x$$ en $$y$$ is:

$$
\mathrm{Cov}(x, y) = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})
$$

De **covariantiematrix** generaliseert covariantie naar meerdere variabelen. Voor een dataset $$X$$ met $$d$$ kenmerken en $$n$$ steekproeven is de covariantiematrix $$\Sigma$$ een $$d \times d$$ matrix waarbij elk element $$\Sigma_{ij}$$ de covariantie is tussen kenmerk $$i$$ en kenmerk $$j$$, berekend met noemer $$n-1$$ om een onbevooroordeelde schatter te zijn.

import numpy as np

# Example data: 3 samples, 2 features
X = np.array([[2.5, 2.4],
              [0.5, 0.7],
              [2.2, 2.9]])

# Center the data (subtract mean)
X_centered = X - np.mean(X, axis=0)

# Compute covariance matrix manually
cov_matrix = (X_centered.T @ X_centered) / X_centered.shape[0]
print("Covariance matrix:\n", cov_matrix)

In bovenstaande code centreert u handmatig de data en berekent u de covariantiematrix met behulp van matrixvermenigvuldiging. Deze matrix geeft weer hoe elk paar kenmerken samen varieert.

Welke uitspraak beschrijft nauwkeurig de relatie tussen variantie, covariantie en de covariantiematrix

Een uitgebreide cursus op gemiddeld niveau die cursisten begeleidt door de motivatie, wiskundige basis en praktische implementatie van Principal Component Analysis (PCA) voor dimensionaliteitsreductie in data science en machine learning.

Ontdek de motivatie, uitdagingen en voordelen van het reduceren van datadimensies in machine learning en datawetenschap.

Verdieping in de wiskundige concepten die ten grondslag liggen aan PCA, waaronder variantie, covariantie en eigenvectoren.

PCA toepassen op echte datasets met Python, de resultaten interpreteren, verklaarde variantie en componentladingen visualiseren, en modelprestaties vergelijken vóór en na PCA.

Variantie, Covariantie en de Covariantiematrix