Leer Wat Zijn Monte Carlo-Methoden?

Definitie

Monte Carlo (MC)-methoden zijn een klasse van computationele algoritmen die gebruikmaken van willekeurige steekproeven om numerieke resultaten te schatten.

Monte Carlo-methoden worden gebruikt wanneer deterministische oplossingen moeilijk of onmogelijk te verkrijgen zijn. Ze vervangen exacte berekeningen door benaderingen die verbeteren naarmate het aantal willekeurige steekproeven toeneemt.

Hoe werken ze?

Monte Carlo-methoden kunnen per taak verschillen, maar ze volgen allemaal een vast patroon:

Definieer een domein van mogelijke invoerwaarden;
Genereer willekeurige invoerwaarden uit een kansverdeling;
Evalueer een functie op deze invoerwaarden;
Aggregatie van de resultaten om een schatting te produceren.

Voorbeelden

Hoewel het hierboven beschreven patroon complex kan lijken, zullen deze voorbeelden het idee verduidelijken.

Integralen berekenen

Het berekenen van integralen is een niet-triviale taak die doorgaans het toepassen van verschillende technieken vereist om het juiste resultaat te verkrijgen.

Laten we proberen de Monte Carlo-methode toe te passen om deze integraal op te lossen:

\int_0^1 \int_0^1 \frac{1}{1 + (x + y)^2} \, dx \, dy

Invoerdomein: deze dubbele integraal heeft twee variabelen, $x \in [0, 1]$ en $y \in [0, 1]$ ;
Generatie: beide variabelen zijn onafhankelijk van elkaar en uniform verdeeld;
Evaluatie: om een puntwaarde te verkrijgen, kan de functie onder de integraal worden gebruikt;
Aggregatie: de waarde van deze integraal kan worden gedefinieerd als het volume onder de kromme. Het volume kan worden berekend als het product van het grondvlak en de gemiddelde hoogte. Het grondvlak is 1 (eenheid vierkant) en de gemiddelde hoogte is het gemiddelde van de resultaten verkregen in de vorige stap.


              12345678910111213141516
            
import numpy as np

result = 0
# Many samples are required for estimates to be precise
for i in range(100000):
  # Generation of random variables
  x, y = np.random.uniform(), np.random.uniform()
  # Computation of point value
  value = 1 / (1 + (x + y) ** 2)
  # Mean aggregation
  result += (value - result) / (i + 1)

# Closed-form solution of this integral
true_result = 2*np.arctan(2) - np.pi/2 - (1/2)*np.log(5) + np.log(2)
print(f"Approximated result: {result}")
print(f"True result: {true_result}")

Benadering van $\Large\pi$

Het benaderen van $\pi$ is een van de meest iconische toepassingen van de Monte Carlo-methode. Dit illustreert hoe willekeurige steekproeven een meetkundig probleem kunnen oplossen zonder complexe calculus.

Beschouw een eenheidsvierkant met daarin een kwartcirkel:

Het vierkant beslaat $[0, 1] \times [0, 1]$ ;
De kwartcirkel heeft straal 1 en is gecentreerd in de oorsprong.

De oppervlakte van de kwartcirkel is $\displaystyle\frac{\pi r^2}{4}$ ofwel $\displaystyle\frac{\pi}{4}$ , en de oppervlakte van het vierkant is 1. Stel dat we willekeurige punten binnen het vierkant nemen. Met een voldoende grote steekproefgrootte geldt:

\frac{\text{Points inside the quarter circle}}{\text{Total points}} \approx \frac\pi4

Dus de waarde van $\pi$ kan worden berekend als

\pi \approx 4 \cdot \frac{\text{Points inside}}{\text{Total points}}


              1234567891011121314151617181920212223242526272829
            
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Lists for coordinates
inside = []
outside = []

# Many samples are required for estimates to be precise
for _ in range(100000):
  # Generation of random variables
  x, y = np.random.uniform(), np.random.uniform()
  # Splitting points inside and outside of the circle
  if x**2 + y**2 <= 1:
    inside.append((x, y))
  else:
    outside.append((x, y))

# Plotting points
plt.figure(figsize=(6,6))
plt.scatter(*zip(*inside), color="blue", s=1, label="Inside")
plt.scatter(*zip(*outside), color="red", s=1, label="Outside")
plt.legend()
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y")
plt.show()

estimate = 4 * len(inside) / (len(inside) + len(outside))
print(f"Estimated value of pi: {estimate}")
print(f"True value of pi: {np.pi}")

Multi-armed bandieten

In de multi-armed bandiet omgeving is een belangrijk doel het schatten van de actie-waarde voor elke arm — dat wil zeggen, de verwachte beloning van het kiezen van een bepaalde actie. Een veelgebruikte strategie is het schatten van deze waarden door het gemiddeld nemen van de waargenomen beloningen verkregen door het trekken aan elke arm in de loop van de tijd. Deze techniek is in feite een Monte Carlo-methode.

Monte Carlo-methoden voor MDP's

In tegenstelling tot dynamische programmeermethoden, die afhankelijk zijn van een volledig en nauwkeurig model van de dynamiek van de omgeving, leren Monte Carlo-methoden uitsluitend op basis van ervaring — dat wil zeggen, uit daadwerkelijke of gesimuleerde reeksen van toestanden, acties en beloningen.

Hierdoor zijn Monte Carlo-benaderingen bijzonder krachtig: ze vereisen geen enkele voorkennis over hoe de omgeving werkt. In plaats daarvan halen ze waardeschattingen direct uit wat er gebeurt tijdens de interactie. In veel praktijksituaties, waarin het modelleren van de omgeving onpraktisch of onmogelijk is, is dit vermogen om te leren van ruwe ervaring een groot voordeel.

Wanneer directe interactie met de omgeving kostbaar, riskant of traag is, kunnen Monte Carlo-methoden ook leren van gesimuleerde ervaring, mits er een betrouwbare simulatie beschikbaar is. Dit maakt verkenning en leren mogelijk in een gecontroleerde, herhaalbare omgeving — hoewel dit wel veronderstelt dat er toegang is tot een model dat plausibele overgangen kan genereren.

Was alles duidelijk?

Bedankt voor je feedback!

Sectie 4. Hoofdstuk 1

Vraag AI

Vraag wat u wilt of probeer een van de voorgestelde vragen om onze chat te starten.

Awesome!

Completion rate improved to 2.7

Veeg om het menu te tonen

Definitie

Monte Carlo (MC)-methoden zijn een klasse van computationele algoritmen die gebruikmaken van willekeurige steekproeven om numerieke resultaten te schatten.

Hoe werken ze?

Monte Carlo-methoden kunnen per taak verschillen, maar ze volgen allemaal een vast patroon:

Definieer een domein van mogelijke invoerwaarden;
Genereer willekeurige invoerwaarden uit een kansverdeling;
Evalueer een functie op deze invoerwaarden;
Aggregatie van de resultaten om een schatting te produceren.

Voorbeelden

Hoewel het hierboven beschreven patroon complex kan lijken, zullen deze voorbeelden het idee verduidelijken.

Integralen berekenen

Het berekenen van integralen is een niet-triviale taak die doorgaans het toepassen van verschillende technieken vereist om het juiste resultaat te verkrijgen.

Laten we proberen de Monte Carlo-methode toe te passen om deze integraal op te lossen:

\int_0^1 \int_0^1 \frac{1}{1 + (x + y)^2} \, dx \, dy

Invoerdomein: deze dubbele integraal heeft twee variabelen, $x \in [0, 1]$ en $y \in [0, 1]$ ;
Generatie: beide variabelen zijn onafhankelijk van elkaar en uniform verdeeld;
Evaluatie: om een puntwaarde te verkrijgen, kan de functie onder de integraal worden gebruikt;
Aggregatie: de waarde van deze integraal kan worden gedefinieerd als het volume onder de kromme. Het volume kan worden berekend als het product van het grondvlak en de gemiddelde hoogte. Het grondvlak is 1 (eenheid vierkant) en de gemiddelde hoogte is het gemiddelde van de resultaten verkregen in de vorige stap.


              12345678910111213141516
            
import numpy as np

result = 0
# Many samples are required for estimates to be precise
for i in range(100000):
  # Generation of random variables
  x, y = np.random.uniform(), np.random.uniform()
  # Computation of point value
  value = 1 / (1 + (x + y) ** 2)
  # Mean aggregation
  result += (value - result) / (i + 1)

# Closed-form solution of this integral
true_result = 2*np.arctan(2) - np.pi/2 - (1/2)*np.log(5) + np.log(2)
print(f"Approximated result: {result}")
print(f"True result: {true_result}")

Benadering van $\Large\pi$

Beschouw een eenheidsvierkant met daarin een kwartcirkel:

Het vierkant beslaat $[0, 1] \times [0, 1]$ ;
De kwartcirkel heeft straal 1 en is gecentreerd in de oorsprong.

\frac{\text{Points inside the quarter circle}}{\text{Total points}} \approx \frac\pi4

Dus de waarde van $\pi$ kan worden berekend als

\pi \approx 4 \cdot \frac{\text{Points inside}}{\text{Total points}}


              1234567891011121314151617181920212223242526272829
            
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Lists for coordinates
inside = []
outside = []

# Many samples are required for estimates to be precise
for _ in range(100000):
  # Generation of random variables
  x, y = np.random.uniform(), np.random.uniform()
  # Splitting points inside and outside of the circle
  if x**2 + y**2 <= 1:
    inside.append((x, y))
  else:
    outside.append((x, y))

# Plotting points
plt.figure(figsize=(6,6))
plt.scatter(*zip(*inside), color="blue", s=1, label="Inside")
plt.scatter(*zip(*outside), color="red", s=1, label="Outside")
plt.legend()
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y")
plt.show()

estimate = 4 * len(inside) / (len(inside) + len(outside))
print(f"Estimated value of pi: {estimate}")
print(f"True value of pi: {np.pi}")

Multi-armed bandieten

Monte Carlo-methoden voor MDP's

Was alles duidelijk?

Bedankt voor je feedback!

Sectie 4. Hoofdstuk 1

Wat Zijn Monte Carlo-Methoden?

Hoe werken ze?

Voorbeelden

Integralen berekenen

Benadering van π\Large\piπ

Multi-armed bandieten

Monte Carlo-methoden voor MDP's

Awesome!

Wat Zijn Monte Carlo-Methoden?

Hoe werken ze?

Voorbeelden

Integralen berekenen

Benadering van π\Large\piπ

Multi-armed bandieten

Monte Carlo-methoden voor MDP's

Benadering van $\Large\pi$

Benadering van $\Large\pi$