Leer Begrip van Probabiliteitsgrondslagen | Kansrekening & Statistiek

Definitie

Kans is de maat voor de waarschijnlijkheid dat een gebeurtenis zal plaatsvinden. Het kwantificeert onzekerheid en is essentieel in vakgebieden zoals datawetenschap, statistiek en machine learning, waar het helpt bij het analyseren van patronen, het doen van voorspellingen en het beoordelen van risico's.

De basisdefinitie van kans

De kans dat een gebeurtenis $A$ optreedt wordt gegeven door:

P(A) = \frac{\text{Number of favorable outcomes}}{\text{Total number of possible outcomes}}

Deze formule geeft aan op hoeveel manieren onze gewenste gebeurtenis kan plaatsvinden ten opzichte van alle mogelijke uitkomsten. Kans ligt altijd tussen 0 (onmogelijk) en 1 (zeker).

Inzicht in uitkomstenruimte en gebeurtenissen

Uitkomstenruimte - alle mogelijke uitkomsten van een experiment;
Gebeurtenis - een specifieke uitkomst of verzameling uitkomsten waarin we geïnteresseerd zijn.

Voorbeeld met het opgooien van een munt:

Uitkomstenruimte = {Heads, Tails} ;
Gebeurtenis A = {Heads} .

Dan:

P(A) = \frac{P(\text{Heads})}{P(\text{Heads}) + P(\text{Tails})} = \frac{0.5}{0.5+0.5} = 0.5

Unie-regel: "A OF B Gebeurt"

Definitie: de unie van twee gebeurtenissen $A \cup B$ vertegenwoordigt uitkomsten waarbij ofwel $A$ optreedt, ofwel $B$ optreedt, of beide optreden.

Formule:

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

We trekken de doorsnede af om dubbel tellen van uitkomsten die in beide gebeurtenissen voorkomen te voorkomen.

Unie Voorbeeld: Een Dobbelsteen Gooien

We gooien een zeszijdige dobbelsteen:

Gebeurtenis A = {1, 2, 3} (een laag getal gooien)
Gebeurtenis B = {2, 4, 6} (een even getal gooien)

Unie en doorsnede:

$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6\}$
$A \cap B = \{2\}$

Berekeningen stap voor stap:

P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \\[6pt] P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \\[6pt] P(A \cap B) = \frac{1}{6}

Pas de unie-formule toe:

P(A \cup B) = \frac{3}{6} + \frac{3}{6} - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}

Doorsnede-regel: "A EN B Gebeuren Beide"

Definitie: De doorsnede van twee gebeurtenissen $A \cap B$ vertegenwoordigt uitkomsten waarbij zowel $A$ als $B$ gelijktijdig optreden.

Algemene Formule

In alle gevallen:

P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)

waarbij $P(B|A)$ de voorwaardelijke kans is op $B$ gegeven dat $A$ al is opgetreden.

Geval 1: Onafhankelijke Gebeurtenissen

Als de gebeurtenissen elkaar niet beïnvloeden (bijvoorbeeld het opgooien van een munt en het werpen van een dobbelsteen):

P(A \cap B) = P(A) \times P(B)

Voorbeeld:

$P(\text{Kop op een munt}) = \frac{\raisebox{1pt}{$1$}}{\raisebox{-1pt}{$2$}}$ ;
$P(\text{6 op een dobbelsteen}) = \frac{\raisebox{1pt}{$1$}}{\raisebox{-1pt}{$6$}}$ .

Dan:

P(A \cap B) = \tfrac{1}{2} \times \tfrac{1}{6} = \tfrac{1}{12}

Geval 2: Afhankelijke Gebeurtenissen

Als het resultaat van de eerste gebeurtenis de tweede beïnvloedt (bijvoorbeeld kaarten trekken zonder terugleggen):

P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)

Voorbeeld:

$P(\text{eerste kaart is een Aas}) = \tfrac{\raisebox{1pt}{$4$}}{52}$ ;
$P(\text{tweede kaart is een Aas | eerste kaart was een Aas}) = \tfrac{\raisebox{1pt}{$3$}}{\raisebox{-1pt}{$51$}}$ .

Dan:

P(A \cap B) = \tfrac{4}{52} \times \tfrac{3}{51} = \tfrac{1}{221}

Was alles duidelijk?

Bedankt voor je feedback!

Sectie 5. Hoofdstuk 1

Vraag AI

Vraag wat u wilt of probeer een van de voorgestelde vragen om onze chat te starten.

Awesome!

Completion rate improved to 1.96

Veeg om het menu te tonen

Definitie

De basisdefinitie van kans

De kans dat een gebeurtenis $A$ optreedt wordt gegeven door:

P(A) = \frac{\text{Number of favorable outcomes}}{\text{Total number of possible outcomes}}

Deze formule geeft aan op hoeveel manieren onze gewenste gebeurtenis kan plaatsvinden ten opzichte van alle mogelijke uitkomsten. Kans ligt altijd tussen 0 (onmogelijk) en 1 (zeker).

Inzicht in uitkomstenruimte en gebeurtenissen

Uitkomstenruimte - alle mogelijke uitkomsten van een experiment;
Gebeurtenis - een specifieke uitkomst of verzameling uitkomsten waarin we geïnteresseerd zijn.

Voorbeeld met het opgooien van een munt:

Uitkomstenruimte = {Heads, Tails} ;
Gebeurtenis A = {Heads} .

Dan:

P(A) = \frac{P(\text{Heads})}{P(\text{Heads}) + P(\text{Tails})} = \frac{0.5}{0.5+0.5} = 0.5

Unie-regel: "A OF B Gebeurt"

Definitie: de unie van twee gebeurtenissen $A \cup B$ vertegenwoordigt uitkomsten waarbij ofwel $A$ optreedt, ofwel $B$ optreedt, of beide optreden.

Formule:

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

We trekken de doorsnede af om dubbel tellen van uitkomsten die in beide gebeurtenissen voorkomen te voorkomen.

Unie Voorbeeld: Een Dobbelsteen Gooien

We gooien een zeszijdige dobbelsteen:

Gebeurtenis A = {1, 2, 3} (een laag getal gooien)
Gebeurtenis B = {2, 4, 6} (een even getal gooien)

Unie en doorsnede:

$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6\}$
$A \cap B = \{2\}$

Berekeningen stap voor stap:

P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \\[6pt] P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \\[6pt] P(A \cap B) = \frac{1}{6}

Pas de unie-formule toe:

P(A \cup B) = \frac{3}{6} + \frac{3}{6} - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}

Doorsnede-regel: "A EN B Gebeuren Beide"

Definitie: De doorsnede van twee gebeurtenissen $A \cap B$ vertegenwoordigt uitkomsten waarbij zowel $A$ als $B$ gelijktijdig optreden.

Algemene Formule

In alle gevallen:

P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)

waarbij $P(B|A)$ de voorwaardelijke kans is op $B$ gegeven dat $A$ al is opgetreden.

Geval 1: Onafhankelijke Gebeurtenissen

Als de gebeurtenissen elkaar niet beïnvloeden (bijvoorbeeld het opgooien van een munt en het werpen van een dobbelsteen):

P(A \cap B) = P(A) \times P(B)

Voorbeeld:

$P(\text{Kop op een munt}) = \frac{\raisebox{1pt}{$1$}}{\raisebox{-1pt}{$2$}}$ ;
$P(\text{6 op een dobbelsteen}) = \frac{\raisebox{1pt}{$1$}}{\raisebox{-1pt}{$6$}}$ .

Dan:

P(A \cap B) = \tfrac{1}{2} \times \tfrac{1}{6} = \tfrac{1}{12}

Geval 2: Afhankelijke Gebeurtenissen

Als het resultaat van de eerste gebeurtenis de tweede beïnvloedt (bijvoorbeeld kaarten trekken zonder terugleggen):

P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)

Voorbeeld:

$P(\text{eerste kaart is een Aas}) = \tfrac{\raisebox{1pt}{$4$}}{52}$ ;
$P(\text{tweede kaart is een Aas | eerste kaart was een Aas}) = \tfrac{\raisebox{1pt}{$3$}}{\raisebox{-1pt}{$51$}}$ .

Dan:

P(A \cap B) = \tfrac{4}{52} \times \tfrac{3}{51} = \tfrac{1}{221}

Was alles duidelijk?

Bedankt voor je feedback!

Sectie 5. Hoofdstuk 1