Voorwaardelijke Kans

Voorwaardelijke kans meet de kans op een gebeurtenis, gegeven dat een andere gebeurtenis al heeft plaatsgevonden.

Formule:

waar:

• $P(A \mid B)$ betekent "de kans op A gegeven B";
• $P(A \cap B)$ is de kans dat zowel A als B plaatsvinden;
• $P(B)$ is de kans dat B plaatsvindt (moet > 0 zijn).

Voorbeeld 1: Voorwaardelijke Kans — Weer en Verkeer

Stel:

• Gebeurtenis A: "Ik kom te laat op het werk";
• Gebeurtenis B: "Het regent".

Gegeven:

• $P(A \cap B) = 0.10$ (10% kans dat het regent EN ik te laat ben);
• $P(B) = 0.20$ (20% kans dat het op een willekeurige dag regent).

Dan:

Interpretatie:
Als het regent, is er een kans van 50% dat ik te laat op het werk kom.

Stelling van Bayes

De stelling van Bayes helpt om $P(A \mid B)$ te vinden wanneer het moeilijk is om deze direct te meten, door het te relateren aan $P(B \mid A)$.

Formule:

Stapsgewijze Uiteenzetting

Stap 1: Begrip van $P(A \mid B)$
Dit wordt gelezen als "de kans op A gegeven B".

Voorbeeld: Als A = "het hebben van een ziekte" en B = "positief testen", dan vraagt $P(A \mid B)$:
Gegeven een positieve test, wat is de kans dat de persoon daadwerkelijk de ziekte heeft?

Stap 2: Teller = $P(B \mid A) \cdot P(A)$

• $P(B \mid A)$ = kans op een positieve test als je de ziekte hebt (testsensitiviteit);
• $P(A)$ = voorafkans van A (ziekteprevalentie).

Stap 3: Noemer = $P(B)$
Dit is de totale kans dat B optreedt (positief testen), afkomstig van zowel echte positieven als valse positieven.

Uitgebreid:

Waarbij:

• $P(B \mid \neg A)$ = vals-positief percentage;
• $P(\neg A)$ = kans op het niet hebben van de ziekte.

Stelling van Bayes — Medische Test

Stel:

• Gebeurtenis A: "Het hebben van een ziekte";
• Gebeurtenis B: "Positief testen".

Gegeven:

• Ziekteprevalentie: $P(A) = 0.01$;
• Sensitiviteit: $P(B \mid A) = 0.99$;
• Fout-positief percentage: $P(B \mid \neg A) = 0.05$.

Stap 1: Totale kans op een positieve test berekenen

Stap 2: Stelling van Bayes toepassen

Interpretatie:
Zelfs als je positief test, is er slechts ongeveer 16,7% kans dat je daadwerkelijk de ziekte hebt — omdat de ziekte zeldzaam is en er fout-positieven zijn.

Belangrijkste inzichten

• Voorwaardelijke kans bepaalt de kans op A, gegeven dat B heeft plaatsgevonden;
• Stelling van Bayes draait voorwaardelijke kansen om, waardoor het mogelijk is overtuigingen bij te stellen wanneer directe meting lastig is;
• Beide concepten zijn essentieel in datawetenschap, machine learning, medische tests en besluitvorming.