Leer Introductie tot Matrixtransformaties | Grondslagen van Lineaire Algebra

Veeg om het menu te tonen

Matrixvergelijkingen

Een matrixvergelijking kan als volgt worden geschreven:

A \vec{x} = \vec{b}

Waarbij:

Beschouw het lineaire systeem:

2x + y = 5 \\ x - y = 1

Dit kan worden herschreven als:

\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix}

De vermenigvuldiging van een matrix met een vector stelt een lineaire combinatie voor:

\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ax + by \\ cx + dy \end{bmatrix} = x \begin{bmatrix} a \\ c \end{bmatrix} + y\begin{bmatrix} b \\ d \end{bmatrix}

Het systeem:

3x + 2y = 7 \\ 4x - y = 5

Kan worden uitgedrukt als:

\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 4 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ 5 \end{bmatrix}

Een matrix transformeert vectoren in de ruimte.

Bijvoorbeeld:

A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix},\ \ \vec{v_1} = \begin{bmatrix}1 \\ 1\end{bmatrix},\ \ \vec{v_2} = \begin{bmatrix}1 \\ \frac{1}{2}\end{bmatrix}

Deze matrix bepaalt hoe de assen transformeren onder vermenigvuldiging.

Om een schaalvergroting op een vector toe te passen, gebruik:

S = \begin{bmatrix} s_x & 0 \\ 0 & s_y \end{bmatrix}

Waarbij:

Voorbeeld: punt (2, 3) schalen met factor 2:

S = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}, \quad \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}

Dan geldt:

S \vec{v} = \begin{bmatrix} 4 \\ 6 \end{bmatrix}

Om een vector te roteren over een hoek $\theta$ rond de oorsprong:

R = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}

Voorbeeld: roteer (2, 3) over 90°:

R = \begin{bmatrix} \cos90º & -\sin90º \\ \sin90º & \cos90º \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \quad \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}

Dan:

R \vec{v} = \begin{bmatrix} -3 \\ 2 \end{bmatrix}

Spiegelmatrix:

M = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix},

Met $\vec{v} = (2, 3)$ :

M \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ -3 \end{bmatrix}

Shearing verschuift één as op basis van de andere.

Om te shearen in de x-richting:

M = \begin{bmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

Als $k = 1.5$ en $\vec{v} = (2, 3)$ :

M \vec{v} = \begin{bmatrix} 6.5 \\ 3 \end{bmatrix}

De identiteitsmatrix voert geen transformatie uit:

I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

Voor elke vector $\vec{v}$ :

I \vec{v} = \vec{v}

Wat is de matrixvorm van dit stelsel vergelijkingen?

2x + y = 5 \\ x - y = 1

Select the correct answer

\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 5 & 1 \\ 2 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}

Was alles duidelijk?

Bedankt voor je feedback!

Sectie 4. Hoofdstuk 5

Vraag AI

Vraag wat u wilt of probeer een van de voorgestelde vragen om onze chat te starten.

Sectie 4. Hoofdstuk 5