Notice: This page requires JavaScript to function properly.
Please enable JavaScript in your browser settings or update your browser.Leer Introductie tot Matrixtransformaties | Grondslagen van Lineaire Algebra
Wiskunde voor Data Science

bookIntroductie tot Matrixtransformaties

Matrixvergelijkingen

Een matrixvergelijking kan als volgt worden geschreven:

Ax⃗=b⃗A \vec{x} = \vec{b}

Waarbij:

  • AA de coëfficiëntenmatrix is;
  • x⃗\vec{x} de variabelenvector is;
  • b⃗\vec{b} de constantenvector is.

Matrixrepresentatie van lineaire systemen

Beschouw het lineaire systeem:

2x+y=5x−y=12x + y = 5 \\ x - y = 1

Dit kan worden herschreven als:

[211−1][xy]=[51]\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix}

Uiteenzetting matrixvermenigvuldiging

De vermenigvuldiging van een matrix met een vector stelt een lineaire combinatie voor:

[abcd][xy]=[ax+bycx+dy]=x[ac]+y[bd]\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ax + by \\ cx + dy \end{bmatrix} = x \begin{bmatrix} a \\ c \end{bmatrix} + y\begin{bmatrix} b \\ d \end{bmatrix}

Voorbeeldsysteem in matrixvorm

Het systeem:

3x+2y=74x−y=53x + 2y = 7 \\ 4x - y = 5

Kan worden uitgedrukt als:

[324−1][xy]=[75]\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 4 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ 5 \end{bmatrix}

Matrices als transformaties

Een matrix transformeert vectoren in de ruimte.

Bijvoorbeeld:

A=[abcd],  v1⃗=[11],  v2⃗=[112]A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix},\ \ \vec{v_1} = \begin{bmatrix}1 \\ 1\end{bmatrix},\ \ \vec{v_2} = \begin{bmatrix}1 \\ \frac{1}{2}\end{bmatrix}

Deze matrix bepaalt hoe de assen transformeren onder vermenigvuldiging.

Schalen met matrices

Om een schaalvergroting op een vector toe te passen, gebruik:

S=[sx00sy]S = \begin{bmatrix} s_x & 0 \\ 0 & s_y \end{bmatrix}

Waarbij:

  • sxs_x - de schaalfactor in de x-richting;
  • sys_y - de schaalfactor in de y-richting.

Voorbeeld: punt (2, 3) schalen met factor 2:

S=[2002],v⃗=[23]S = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}, \quad \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}

Dan geldt:

Sv⃗=[46]S \vec{v} = \begin{bmatrix} 4 \\ 6 \end{bmatrix}

Rotatie met matrices

Om een vector te roteren over een hoek θ\theta rond de oorsprong:

R=[cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ]R = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}

Voorbeeld: roteer (2, 3) over 90°:

R=[cos⁡90º−sin⁡90ºsin⁡90ºcos⁡90º]=[0−110],v⃗=[23]R = \begin{bmatrix} \cos90º & -\sin90º \\ \sin90º & \cos90º \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \quad \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}

Dan:

Rv⃗=[−32]R \vec{v} = \begin{bmatrix} -3 \\ 2 \end{bmatrix}

Spiegeling over de x-as

Spiegelmatrix:

M=[100−1],M = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix},

Met v⃗=(2,3)\vec{v} = (2, 3):

Mv⃗=[2−3]M \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ -3 \end{bmatrix}

Sheartransformatie (shear in x-richting)

Shearing verschuift één as op basis van de andere.

Om te shearen in de x-richting:

M=[1k01]M = \begin{bmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

Als k=1.5k = 1.5 en v⃗=(2,3)\vec{v} = (2, 3):

Mv⃗=[6.53]M \vec{v} = \begin{bmatrix} 6.5 \\ 3 \end{bmatrix}

Identiteitstransformatie

De identiteitsmatrix voert geen transformatie uit:

I=[1001]I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

Voor elke vector v⃗\vec{v}:

Iv⃗=v⃗I \vec{v} = \vec{v}
question mark

Wat is de matrixvorm van dit stelsel vergelijkingen?

2x+y=5x−y=12x + y = 5 \\ x - y = 1

Select the correct answer

Was alles duidelijk?

Hoe kunnen we het verbeteren?

Bedankt voor je feedback!

Sectie 4. Hoofdstuk 5

Vraag AI

expand

Vraag AI

ChatGPT

Vraag wat u wilt of probeer een van de voorgestelde vragen om onze chat te starten.

Suggested prompts:

Can you explain how to solve a matrix equation for the variables?

What are some real-world applications of matrices and matrix transformations?

Can you show more examples of matrix transformations like rotation or scaling?

Awesome!

Completion rate improved to 1.96

bookIntroductie tot Matrixtransformaties

Veeg om het menu te tonen

Matrixvergelijkingen

Een matrixvergelijking kan als volgt worden geschreven:

Ax⃗=b⃗A \vec{x} = \vec{b}

Waarbij:

  • AA de coëfficiëntenmatrix is;
  • x⃗\vec{x} de variabelenvector is;
  • b⃗\vec{b} de constantenvector is.

Matrixrepresentatie van lineaire systemen

Beschouw het lineaire systeem:

2x+y=5x−y=12x + y = 5 \\ x - y = 1

Dit kan worden herschreven als:

[211−1][xy]=[51]\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix}

Uiteenzetting matrixvermenigvuldiging

De vermenigvuldiging van een matrix met een vector stelt een lineaire combinatie voor:

[abcd][xy]=[ax+bycx+dy]=x[ac]+y[bd]\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ax + by \\ cx + dy \end{bmatrix} = x \begin{bmatrix} a \\ c \end{bmatrix} + y\begin{bmatrix} b \\ d \end{bmatrix}

Voorbeeldsysteem in matrixvorm

Het systeem:

3x+2y=74x−y=53x + 2y = 7 \\ 4x - y = 5

Kan worden uitgedrukt als:

[324−1][xy]=[75]\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 4 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ 5 \end{bmatrix}

Matrices als transformaties

Een matrix transformeert vectoren in de ruimte.

Bijvoorbeeld:

A=[abcd],  v1⃗=[11],  v2⃗=[112]A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix},\ \ \vec{v_1} = \begin{bmatrix}1 \\ 1\end{bmatrix},\ \ \vec{v_2} = \begin{bmatrix}1 \\ \frac{1}{2}\end{bmatrix}

Deze matrix bepaalt hoe de assen transformeren onder vermenigvuldiging.

Schalen met matrices

Om een schaalvergroting op een vector toe te passen, gebruik:

S=[sx00sy]S = \begin{bmatrix} s_x & 0 \\ 0 & s_y \end{bmatrix}

Waarbij:

  • sxs_x - de schaalfactor in de x-richting;
  • sys_y - de schaalfactor in de y-richting.

Voorbeeld: punt (2, 3) schalen met factor 2:

S=[2002],v⃗=[23]S = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}, \quad \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}

Dan geldt:

Sv⃗=[46]S \vec{v} = \begin{bmatrix} 4 \\ 6 \end{bmatrix}

Rotatie met matrices

Om een vector te roteren over een hoek θ\theta rond de oorsprong:

R=[cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ]R = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}

Voorbeeld: roteer (2, 3) over 90°:

R=[cos⁡90º−sin⁡90ºsin⁡90ºcos⁡90º]=[0−110],v⃗=[23]R = \begin{bmatrix} \cos90º & -\sin90º \\ \sin90º & \cos90º \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \quad \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}

Dan:

Rv⃗=[−32]R \vec{v} = \begin{bmatrix} -3 \\ 2 \end{bmatrix}

Spiegeling over de x-as

Spiegelmatrix:

M=[100−1],M = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix},

Met v⃗=(2,3)\vec{v} = (2, 3):

Mv⃗=[2−3]M \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ -3 \end{bmatrix}

Sheartransformatie (shear in x-richting)

Shearing verschuift één as op basis van de andere.

Om te shearen in de x-richting:

M=[1k01]M = \begin{bmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

Als k=1.5k = 1.5 en v⃗=(2,3)\vec{v} = (2, 3):

Mv⃗=[6.53]M \vec{v} = \begin{bmatrix} 6.5 \\ 3 \end{bmatrix}

Identiteitstransformatie

De identiteitsmatrix voert geen transformatie uit:

I=[1001]I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

Voor elke vector v⃗\vec{v}:

Iv⃗=v⃗I \vec{v} = \vec{v}
question mark

Wat is de matrixvorm van dit stelsel vergelijkingen?

2x+y=5x−y=12x + y = 5 \\ x - y = 1

Select the correct answer

Was alles duidelijk?

Hoe kunnen we het verbeteren?

Bedankt voor je feedback!

Sectie 4. Hoofdstuk 5
some-alt