Notice: This page requires JavaScript to function properly.
Please enable JavaScript in your browser settings or update your browser.Leer Introductie tot Matrixtransformaties | Grondslagen van Lineaire Algebra
Learn
Cursussen
Learning Tracks
Popular Topics
Practice
Projects
Quizzes & Challenges
Quizzes
Challenges
/
Wiskunde voor Data Science

bookIntroductie tot Matrixtransformaties

Matrixvergelijkingen

Een matrixvergelijking kan als volgt worden geschreven:

Ax⃗=b⃗A \vec{x} = \vec{b}

Waarbij:

  • AA de coëfficiëntenmatrix is;
  • x⃗\vec{x} de variabelenvector is;
  • b⃗\vec{b} de constantenvector is.

Matrixrepresentatie van lineaire systemen

Beschouw het lineaire systeem:

2x+y=5x−y=12x + y = 5 \\ x - y = 1

Dit kan worden herschreven als:

[211−1][xy]=[51]\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix}

Uiteenzetting matrixvermenigvuldiging

De vermenigvuldiging van een matrix met een vector stelt een lineaire combinatie voor:

[abcd][xy]=[ax+bycx+dy]=x[ac]+y[bd]\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ax + by \\ cx + dy \end{bmatrix} = x \begin{bmatrix} a \\ c \end{bmatrix} + y\begin{bmatrix} b \\ d \end{bmatrix}

Voorbeeldsysteem in matrixvorm

Het systeem:

3x+2y=74x−y=53x + 2y = 7 \\ 4x - y = 5

Kan worden uitgedrukt als:

[324−1][xy]=[75]\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 4 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ 5 \end{bmatrix}

Matrices als transformaties

Een matrix transformeert vectoren in de ruimte.

Bijvoorbeeld:

A=[abcd],  v1⃗=[11],  v2⃗=[112]A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix},\ \ \vec{v_1} = \begin{bmatrix}1 \\ 1\end{bmatrix},\ \ \vec{v_2} = \begin{bmatrix}1 \\ \frac{1}{2}\end{bmatrix}

Deze matrix bepaalt hoe de assen transformeren onder vermenigvuldiging.

Schalen met matrices

Om een schaalvergroting op een vector toe te passen, gebruik:

S=[sx00sy]S = \begin{bmatrix} s_x & 0 \\ 0 & s_y \end{bmatrix}

Waarbij:

  • sxs_x - de schaalfactor in de x-richting;
  • sys_y - de schaalfactor in de y-richting.

Voorbeeld: punt (2, 3) schalen met factor 2:

S=[2002],v⃗=[23]S = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}, \quad \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}

Dan geldt:

Sv⃗=[46]S \vec{v} = \begin{bmatrix} 4 \\ 6 \end{bmatrix}

Rotatie met matrices

Om een vector te roteren over een hoek θ\theta rond de oorsprong:

R=[cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ]R = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}

Voorbeeld: roteer (2, 3) over 90°:

R=[cos⁡90º−sin⁡90ºsin⁡90ºcos⁡90º]=[0−110],v⃗=[23]R = \begin{bmatrix} \cos90º & -\sin90º \\ \sin90º & \cos90º \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \quad \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}

Dan:

Rv⃗=[−32]R \vec{v} = \begin{bmatrix} -3 \\ 2 \end{bmatrix}

Spiegeling over de x-as

Spiegelmatrix:

M=[100−1],M = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix},

Met v⃗=(2,3)\vec{v} = (2, 3):

Mv⃗=[2−3]M \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ -3 \end{bmatrix}

Sheartransformatie (shear in x-richting)

Shearing verschuift één as op basis van de andere.

Om te shearen in de x-richting:

M=[1k01]M = \begin{bmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

Als k=1.5k = 1.5 en v⃗=(2,3)\vec{v} = (2, 3):

Mv⃗=[6.53]M \vec{v} = \begin{bmatrix} 6.5 \\ 3 \end{bmatrix}

Identiteitstransformatie

De identiteitsmatrix voert geen transformatie uit:

I=[1001]I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

Voor elke vector v⃗\vec{v}:

Iv⃗=v⃗I \vec{v} = \vec{v}
question mark

Wat is de matrixvorm van dit stelsel vergelijkingen?

2x+y=5x−y=12x + y = 5 \\ x - y = 1

Select the correct answer

Was alles duidelijk?

Hoe kunnen we het verbeteren?

Bedankt voor je feedback!

Sectie 4. Hoofdstuk 5

Vraag AI

expand

Vraag AI

ChatGPT

Vraag wat u wilt of probeer een van de voorgestelde vragen om onze chat te starten.

bookIntroductie tot Matrixtransformaties

Veeg om het menu te tonen

Matrixvergelijkingen

Een matrixvergelijking kan als volgt worden geschreven:

Ax⃗=b⃗A \vec{x} = \vec{b}

Waarbij:

  • AA de coëfficiëntenmatrix is;
  • x⃗\vec{x} de variabelenvector is;
  • b⃗\vec{b} de constantenvector is.

Matrixrepresentatie van lineaire systemen

Beschouw het lineaire systeem:

2x+y=5x−y=12x + y = 5 \\ x - y = 1

Dit kan worden herschreven als:

[211−1][xy]=[51]\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix}

Uiteenzetting matrixvermenigvuldiging

De vermenigvuldiging van een matrix met een vector stelt een lineaire combinatie voor:

[abcd][xy]=[ax+bycx+dy]=x[ac]+y[bd]\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ax + by \\ cx + dy \end{bmatrix} = x \begin{bmatrix} a \\ c \end{bmatrix} + y\begin{bmatrix} b \\ d \end{bmatrix}

Voorbeeldsysteem in matrixvorm

Het systeem:

3x+2y=74x−y=53x + 2y = 7 \\ 4x - y = 5

Kan worden uitgedrukt als:

[324−1][xy]=[75]\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 4 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ 5 \end{bmatrix}

Matrices als transformaties

Een matrix transformeert vectoren in de ruimte.

Bijvoorbeeld:

A=[abcd],  v1⃗=[11],  v2⃗=[112]A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix},\ \ \vec{v_1} = \begin{bmatrix}1 \\ 1\end{bmatrix},\ \ \vec{v_2} = \begin{bmatrix}1 \\ \frac{1}{2}\end{bmatrix}

Deze matrix bepaalt hoe de assen transformeren onder vermenigvuldiging.

Schalen met matrices

Om een schaalvergroting op een vector toe te passen, gebruik:

S=[sx00sy]S = \begin{bmatrix} s_x & 0 \\ 0 & s_y \end{bmatrix}

Waarbij:

  • sxs_x - de schaalfactor in de x-richting;
  • sys_y - de schaalfactor in de y-richting.

Voorbeeld: punt (2, 3) schalen met factor 2:

S=[2002],v⃗=[23]S = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}, \quad \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}

Dan geldt:

Sv⃗=[46]S \vec{v} = \begin{bmatrix} 4 \\ 6 \end{bmatrix}

Rotatie met matrices

Om een vector te roteren over een hoek θ\theta rond de oorsprong:

R=[cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ]R = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}

Voorbeeld: roteer (2, 3) over 90°:

R=[cos⁡90º−sin⁡90ºsin⁡90ºcos⁡90º]=[0−110],v⃗=[23]R = \begin{bmatrix} \cos90º & -\sin90º \\ \sin90º & \cos90º \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \quad \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}

Dan:

Rv⃗=[−32]R \vec{v} = \begin{bmatrix} -3 \\ 2 \end{bmatrix}

Spiegeling over de x-as

Spiegelmatrix:

M=[100−1],M = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix},

Met v⃗=(2,3)\vec{v} = (2, 3):

Mv⃗=[2−3]M \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ -3 \end{bmatrix}

Sheartransformatie (shear in x-richting)

Shearing verschuift één as op basis van de andere.

Om te shearen in de x-richting:

M=[1k01]M = \begin{bmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

Als k=1.5k = 1.5 en v⃗=(2,3)\vec{v} = (2, 3):

Mv⃗=[6.53]M \vec{v} = \begin{bmatrix} 6.5 \\ 3 \end{bmatrix}

Identiteitstransformatie

De identiteitsmatrix voert geen transformatie uit:

I=[1001]I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

Voor elke vector v⃗\vec{v}:

Iv⃗=v⃗I \vec{v} = \vec{v}
question mark

Wat is de matrixvorm van dit stelsel vergelijkingen?

2x+y=5x−y=12x + y = 5 \\ x - y = 1

Select the correct answer

Was alles duidelijk?

Hoe kunnen we het verbeteren?

Bedankt voor je feedback!

Sectie 4. Hoofdstuk 5
some-alt