Notice: This page requires JavaScript to function properly.
Please enable JavaScript in your browser settings or update your browser.Leer Introductie tot Eigenvectoren en Eigenwaarden | Grondslagen van Lineaire Algebra
Wiskunde voor Data Science

bookIntroductie tot Eigenvectoren en Eigenwaarden

Note
Definitie

Eigenwaarden en eigenvectoren beschrijven hoe een matrix vectoren in de ruimte transformeert. Een eigenvector is een niet-nul vector waarvan de richting onveranderd blijft wanneer deze met de matrix wordt vermenigvuldigd, en de bijbehorende eigenwaarde geeft aan in welke mate de vector wordt uitgerekt of samengedrukt.

Wat zijn eigenvectoren en eigenwaarden?

Een eigenvector is een niet-nul vector die alleen in grootte verandert wanneer een matrix op deze wordt toegepast. De bijbehorende scalair die deze verandering beschrijft is de eigenwaarde.

Av⃗=λv⃗A\vec{v} = \lambda\vec{v}

Waarbij:

  • AA een vierkante matrix is;
  • λ\lambda de eigenwaarde is;
  • v⃗\vec{v} de eigenvector is.

Voorbeeldmatrix en opzet

Stel:

A=[4123]A = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}

We willen waarden vinden voor λ\lambda en vectoren v⃗\vec{v} zodat:

Av⃗=λv⃗A \vec{v} = \lambda \vec{v}

Karakteristieke Vergelijking

Om λ\lambda te vinden, los de karakteristieke vergelijking op:

det⁡(A−λI)=0\det(A - \lambda I) = 0

Vervang:

det⁡[4−λ123−λ]=0\det \begin{bmatrix} 4-\lambda & 1 \\ 2 & 3-\lambda \end{bmatrix} = 0

Bereken de determinant:

(4−λ)(3−λ)−2=0(4-\lambda)(3-\lambda) - 2 = 0

Los op:

λ2−7λ+10=0λ=5,  λ=2\lambda^2 - 7\lambda + 10 = 0 \\ \lambda = 5, \; \lambda = 2

Vind Eigenvectoren

Los nu op voor elke λ\lambda.

Voor λ=5\lambda = 5:

Aftrekken:

(A−5I)v⃗=0(A - 5I)\vec{v} = 0 [−112−2]v⃗=0\begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -2 \end{bmatrix} \vec{v} = 0

Los op:

v1=v2v_1 = v_2

Dus:

v⃗=[11]\vec{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}

Voor λ=2\lambda = 2:

Aftrekken:

(A−2I)v⃗=0(A - 2I)\vec{v} = 0 [2121]v⃗=0\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} \vec{v} = 0

Los op:

v1=−12v2v_1 = -\tfrac{1}{2} v_2

Dus:

v⃗=[−12]\vec{v} = \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix}

Bevestig het Eigenpaar

Zodra een eigenwaarde λ\lambda en een eigenvector v⃗\vec{v} zijn gevonden, verifiëren dat:

Av⃗=λv⃗A \vec{v} = \lambda \vec{v}

Voorbeeld:

A[11]=[55]=5[11]A \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 5 \end{bmatrix} = 5 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}
Note
Opmerking

Eigenvectoren zijn niet uniek.
Als v⃗\vec{v} een eigenvector is, dan is elke scalaire veelvoud cv⃗c \vec{v} voor c≠0c \neq 0 ook een eigenvector.

Voorbeeld:

[22]\begin{bmatrix} 2 \\ 2 \end{bmatrix}

is ook een eigenvector voor λ=5\lambda = 5.

Diagonalisatie (Geavanceerd)

Als een matrix AA nn lineair onafhankelijke eigenvectoren heeft, dan kan deze worden gediagonaliseerd:

A=PDP−1A = PDP^{-1}

Waarbij:

  • PP de matrix is met de eigenvectoren als kolommen;
  • DD een diagonale matrix is met de eigenwaarden;
  • P−1P^{-1} de inverse is van PP.

Diagonalisatie kan worden bevestigd door te controleren of A=PDP−1A = PDP^{-1}.
Dit is nuttig voor het berekenen van machten van AA:

Voorbeeld

Neem:

A=[3102]A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}

Bepaal de eigenwaarden:

det⁡(A−λI)=0\det(A - \lambda I) = 0

Oplossen:

λ=3,  λ=2\lambda = 3, \; \lambda = 2

Bepaal de eigenvectoren:

Voor λ=3\lambda = 3:

v⃗=[10]\vec{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}

Voor λ=2\lambda = 2:

v⃗=[−11]\vec{v} = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}

Construeer P,DP, D en P−1P^{-1}:

P=[1−101],D=[3002],P−1=[1101]P = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad D = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}, \quad P^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

Bereken:

PDP−1=[3102]=APDP^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = A

Bevestigd.

Waarom dit belangrijk is:

Voor het berekenen van machten van AA, zoals AkA^k. Omdat DD diagonaal is:

Ak=PDkP−1A^k = P D^k P^{-1}

Dit maakt het berekenen van machten van matrices veel sneller.

Belangrijke opmerkingen

  • Eigenwaarden en eigenvectoren zijn richtingen die onveranderd blijven onder transformatie;
  • λ\lambda rekt v⃗\vec{v} uit;
  • λ=1\lambda = 1 laat v⃗\vec{v} onveranderd in grootte.
question mark

Waar wordt de karakteristieke vergelijking voor gebruikt?

Select the correct answer

Was alles duidelijk?

Hoe kunnen we het verbeteren?

Bedankt voor je feedback!

Sectie 4. Hoofdstuk 11

Vraag AI

expand

Vraag AI

ChatGPT

Vraag wat u wilt of probeer een van de voorgestelde vragen om onze chat te starten.

Awesome!

Completion rate improved to 1.96

bookIntroductie tot Eigenvectoren en Eigenwaarden

Veeg om het menu te tonen

Note
Definitie

Eigenwaarden en eigenvectoren beschrijven hoe een matrix vectoren in de ruimte transformeert. Een eigenvector is een niet-nul vector waarvan de richting onveranderd blijft wanneer deze met de matrix wordt vermenigvuldigd, en de bijbehorende eigenwaarde geeft aan in welke mate de vector wordt uitgerekt of samengedrukt.

Wat zijn eigenvectoren en eigenwaarden?

Een eigenvector is een niet-nul vector die alleen in grootte verandert wanneer een matrix op deze wordt toegepast. De bijbehorende scalair die deze verandering beschrijft is de eigenwaarde.

Av⃗=λv⃗A\vec{v} = \lambda\vec{v}

Waarbij:

  • AA een vierkante matrix is;
  • λ\lambda de eigenwaarde is;
  • v⃗\vec{v} de eigenvector is.

Voorbeeldmatrix en opzet

Stel:

A=[4123]A = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}

We willen waarden vinden voor λ\lambda en vectoren v⃗\vec{v} zodat:

Av⃗=λv⃗A \vec{v} = \lambda \vec{v}

Karakteristieke Vergelijking

Om λ\lambda te vinden, los de karakteristieke vergelijking op:

det⁡(A−λI)=0\det(A - \lambda I) = 0

Vervang:

det⁡[4−λ123−λ]=0\det \begin{bmatrix} 4-\lambda & 1 \\ 2 & 3-\lambda \end{bmatrix} = 0

Bereken de determinant:

(4−λ)(3−λ)−2=0(4-\lambda)(3-\lambda) - 2 = 0

Los op:

λ2−7λ+10=0λ=5,  λ=2\lambda^2 - 7\lambda + 10 = 0 \\ \lambda = 5, \; \lambda = 2

Vind Eigenvectoren

Los nu op voor elke λ\lambda.

Voor λ=5\lambda = 5:

Aftrekken:

(A−5I)v⃗=0(A - 5I)\vec{v} = 0 [−112−2]v⃗=0\begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -2 \end{bmatrix} \vec{v} = 0

Los op:

v1=v2v_1 = v_2

Dus:

v⃗=[11]\vec{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}

Voor λ=2\lambda = 2:

Aftrekken:

(A−2I)v⃗=0(A - 2I)\vec{v} = 0 [2121]v⃗=0\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} \vec{v} = 0

Los op:

v1=−12v2v_1 = -\tfrac{1}{2} v_2

Dus:

v⃗=[−12]\vec{v} = \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix}

Bevestig het Eigenpaar

Zodra een eigenwaarde λ\lambda en een eigenvector v⃗\vec{v} zijn gevonden, verifiëren dat:

Av⃗=λv⃗A \vec{v} = \lambda \vec{v}

Voorbeeld:

A[11]=[55]=5[11]A \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 5 \end{bmatrix} = 5 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}
Note
Opmerking

Eigenvectoren zijn niet uniek.
Als v⃗\vec{v} een eigenvector is, dan is elke scalaire veelvoud cv⃗c \vec{v} voor c≠0c \neq 0 ook een eigenvector.

Voorbeeld:

[22]\begin{bmatrix} 2 \\ 2 \end{bmatrix}

is ook een eigenvector voor λ=5\lambda = 5.

Diagonalisatie (Geavanceerd)

Als een matrix AA nn lineair onafhankelijke eigenvectoren heeft, dan kan deze worden gediagonaliseerd:

A=PDP−1A = PDP^{-1}

Waarbij:

  • PP de matrix is met de eigenvectoren als kolommen;
  • DD een diagonale matrix is met de eigenwaarden;
  • P−1P^{-1} de inverse is van PP.

Diagonalisatie kan worden bevestigd door te controleren of A=PDP−1A = PDP^{-1}.
Dit is nuttig voor het berekenen van machten van AA:

Voorbeeld

Neem:

A=[3102]A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}

Bepaal de eigenwaarden:

det⁡(A−λI)=0\det(A - \lambda I) = 0

Oplossen:

λ=3,  λ=2\lambda = 3, \; \lambda = 2

Bepaal de eigenvectoren:

Voor λ=3\lambda = 3:

v⃗=[10]\vec{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}

Voor λ=2\lambda = 2:

v⃗=[−11]\vec{v} = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}

Construeer P,DP, D en P−1P^{-1}:

P=[1−101],D=[3002],P−1=[1101]P = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad D = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}, \quad P^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

Bereken:

PDP−1=[3102]=APDP^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = A

Bevestigd.

Waarom dit belangrijk is:

Voor het berekenen van machten van AA, zoals AkA^k. Omdat DD diagonaal is:

Ak=PDkP−1A^k = P D^k P^{-1}

Dit maakt het berekenen van machten van matrices veel sneller.

Belangrijke opmerkingen

  • Eigenwaarden en eigenvectoren zijn richtingen die onveranderd blijven onder transformatie;
  • λ\lambda rekt v⃗\vec{v} uit;
  • λ=1\lambda = 1 laat v⃗\vec{v} onveranderd in grootte.
question mark

Waar wordt de karakteristieke vergelijking voor gebruikt?

Select the correct answer

Was alles duidelijk?

Hoe kunnen we het verbeteren?

Bedankt voor je feedback!

Sectie 4. Hoofdstuk 11
some-alt