Introductie tot Eigenvectoren en Eigenwaarden

Wat zijn eigenvectoren en eigenwaarden?

Een eigenvector is een niet-nulvector die alleen in grootte verandert wanneer een matrix hierop wordt toegepast. De bijbehorende scalair die deze verandering beschrijft is de eigenwaarde.

$$A\vec{v} = \lambda\vec{v}$$

Waarbij:

• $A$ een vierkante matrix is;
• $\lambda$ de eigenwaarde is;
• $\vec{v}$ de eigenvector is.

Voorbeeldmatrix en opzet

Stel:

$$A = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$$

We willen waarden vinden voor $\lambda$ en vectoren $\vec{v}$ zodat:

$$A \vec{v} = \lambda \vec{v}$$

Kenmerkende Vergelijking

Om $\lambda$ te vinden, los de karakteristieke vergelijking op:

$$\det(A - \lambda I) = 0$$

Substitueer:

$$\det \begin{bmatrix} 4-\lambda & 1 \\ 2 & 3-\lambda \end{bmatrix} = 0$$

Bepaal de determinant:

$$(4-\lambda)(3-\lambda) - 2 = 0$$

Los op:

$$\lambda^2 - 7\lambda + 10 = 0 \\ \lambda = 5, \; \lambda = 2$$

Eigenvectoren Bepalen

Los nu op voor elke $\lambda$.

Voor $\lambda = 5$:

Aftrekken:

$$(A - 5I)\vec{v} = 0$$ $$\begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -2 \end{bmatrix} \vec{v} = 0$$

Dit geeft de vergelijking:

$$-v_1 + v_2 = 0$$

Los op:

$$v_1 = v_2$$

Dus:

$$\vec{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$$

Voor $\lambda = 2$:

Aftrekken:

$$(A - 2I)\vec{v} = 0$$ $$\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} \vec{v} = 0$$

Dit geeft de vergelijking:

$$2v_1 + v_2 = 0$$

Los op:

$$v_1 = -\tfrac{1}{2} v_2$$

Dus:

$$\vec{v} = \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix}$$

Bevestigen van het Eigenpaar

Zodra je een eigenwaarde $\lambda$ en een eigenvector $\vec{v}$ hebt, verifieer dat:

$$A \vec{v} = \lambda \vec{v}$$

Voorbeeld:

$$A \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 5 \end{bmatrix} = 5 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$$

Voorbeeld:

$$\begin{bmatrix} 2 \\ 2 \end{bmatrix}$$

is ook een eigenvector voor $\lambda = 5$.

Diagonalisatie (Geavanceerd)

Als een matrix $A$ $n$ lineair onafhankelijke eigenvectoren heeft, dan kan deze worden gediagonaliseerd:

$$A = PDP^{-1}$$

Waarbij:

• $P$ de matrix is met de eigenvectoren als kolommen;
• $D$ een diagonale matrix is met de eigenwaarden;
• $P^{-1}$ de inverse is van $P$.

Je kunt diagonalisatie bevestigen door te controleren of $A = PDP^{-1}$.
Dit is handig voor het berekenen van machten van $A$:

Voorbeeld

Neem:

$$A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$$

Vind de eigenwaarden:

$$\det(A - \lambda I) = 0$$

Oplossen:

$$\lambda = 3, \; \lambda = 2$$

Vind de eigenvectoren:

Voor $\lambda = 3$:

$$\vec{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$$

Voor $\lambda = 2$:

$$\vec{v} = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}$$

Construeer $P, D$ en $P^{-1}$:

$$P = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad D = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}, \quad P^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

Bereken:

$$PDP^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = A$$

Bevestigd.

Waarom dit belangrijk is:

Voor het berekenen van machten van $A$, zoals $A^k$. Omdat $D$ diagonaal is:

$$A^k = P D^k P^{-1}$$

Dit maakt het berekenen van machten van matrices veel sneller.

Belangrijke opmerkingen

• Eigenwaarden en eigenvectoren zijn richtingen die onveranderd blijven onder transformatie;
• $\lambda$ rekt $\vec{v}$ uit;
• $\lambda = 1$ laat de grootte van $\vec{v}$ onveranderd.