Leer Matrixbewerkingen | Grondslagen van Lineaire Algebra

Definitie

Een matrix is een rechthoekige verzameling van getallen, gerangschikt in rijen en kolommen, gebruikt om wiskundige problemen efficiënt te representeren en op te lossen.

Voordat we lineaire systemen behandelen, zoals $A\vec{x} = \vec{b}$ , is het essentieel om te begrijpen hoe matrices zich gedragen en welke bewerkingen we erop kunnen uitvoeren.

Matrixoptelling

Twee matrices kunnen alleen worden opgeteld als ze dezelfde vorm hebben (hetzelfde aantal rijen en kolommen).

Laat:

A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{bmatrix}

Dan geldt:

A + B = \begin{bmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} \end{bmatrix}

Scalaire vermenigvuldiging

Een matrix kan ook met een scalair (enkel getal) worden vermenigvuldigd:

k \cdot A = \begin{bmatrix} k a_{11} & k a_{12} \\ k a_{21} & k a_{22} \end{bmatrix}

Matrixvermenigvuldiging en compatibiliteit van afmetingen

Matrixvermenigvuldiging is een rij-maal-kolom bewerking, niet elementgewijs.

Regel: als matrix $A$ de vorm $(m \times n)$ heeft en matrix $B$ de vorm $(n \times p)$ , dan geldt:

De vermenigvuldiging $AB$ is geldig;
Het resultaat is een matrix van vorm $(m \times p)$ .

Voorbeeld:

Stel:

A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \ \ B = \begin{bmatrix} 5 \\ 6 \end{bmatrix}

$A$ is $(2 \times 2)$ en $B$ is $(2 \times 1)$ , dus $AB$ is geldig en resulteert in een $(2 \times 1)$ matrix:

A \cdot B = \begin{bmatrix} 1 \cdot 5 + 2 \cdot 6 \\ 3 \cdot 5 + 4 \cdot 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 17 \\ 39 \end{bmatrix}

Transponeren van een matrix

Het transponeren van een matrix verwisselt rijen en kolommen. Dit wordt aangeduid als $A^T$ .

Stel:

A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}

Dan geldt:

A^T = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}

Eigenschappen:

$(A^T)^T = A$ ;
$(A + B)^T = A^T + B^T$ ;
$(AB)^T = B^T A^T$ .

Determinant van een matrix

2×2 Matrix

Voor:

A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}

De determinant is:

\det(A) = ad - bc

3×3 Matrix

Voor:

A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}

De determinant is:

\det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)

Deze methode wordt cofactor-expansie genoemd.

Grotere matrices (4×4 en groter) kunnen recursief worden uitgebreid.
De determinant is nuttig omdat deze aangeeft of een matrix een inverse heeft (niet-nul determinant).

Inverse van een matrix

De inverse van een vierkante matrix $A$ wordt genoteerd als $A^{-1}$ . Deze voldoet aan $A \cdot A^{-1} = I$ , waarbij $I$ de identiteitsmatrix is.

Alleen vierkante matrices met een niet-nul determinant hebben een inverse.

Voorbeeld:

Als matrix A is:

A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}

Dan is de inverse matrix $A^{-1}$ :

A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}

Waarbij $\det(A) \neq 0$ .

Was alles duidelijk?

Bedankt voor je feedback!

Sectie 4. Hoofdstuk 3

Vraag AI

Vraag wat u wilt of probeer een van de voorgestelde vragen om onze chat te starten.

Suggested prompts:

Can you explain why matrix multiplication is not element-wise?

How do you find the determinant of larger matrices?

What is the significance of the inverse of a matrix?

Awesome!

Completion rate improved to 1.96

Veeg om het menu te tonen

Definitie

Een matrix is een rechthoekige verzameling van getallen, gerangschikt in rijen en kolommen, gebruikt om wiskundige problemen efficiënt te representeren en op te lossen.

Voordat we lineaire systemen behandelen, zoals $A\vec{x} = \vec{b}$ , is het essentieel om te begrijpen hoe matrices zich gedragen en welke bewerkingen we erop kunnen uitvoeren.

Matrixoptelling

Twee matrices kunnen alleen worden opgeteld als ze dezelfde vorm hebben (hetzelfde aantal rijen en kolommen).

Laat:

A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{bmatrix}

Dan geldt:

A + B = \begin{bmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} \end{bmatrix}

Scalaire vermenigvuldiging

Een matrix kan ook met een scalair (enkel getal) worden vermenigvuldigd:

k \cdot A = \begin{bmatrix} k a_{11} & k a_{12} \\ k a_{21} & k a_{22} \end{bmatrix}

Matrixvermenigvuldiging en compatibiliteit van afmetingen

Matrixvermenigvuldiging is een rij-maal-kolom bewerking, niet elementgewijs.

Regel: als matrix $A$ de vorm $(m \times n)$ heeft en matrix $B$ de vorm $(n \times p)$ , dan geldt:

De vermenigvuldiging $AB$ is geldig;
Het resultaat is een matrix van vorm $(m \times p)$ .

Voorbeeld:

Stel:

A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \ \ B = \begin{bmatrix} 5 \\ 6 \end{bmatrix}

$A$ is $(2 \times 2)$ en $B$ is $(2 \times 1)$ , dus $AB$ is geldig en resulteert in een $(2 \times 1)$ matrix:

A \cdot B = \begin{bmatrix} 1 \cdot 5 + 2 \cdot 6 \\ 3 \cdot 5 + 4 \cdot 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 17 \\ 39 \end{bmatrix}

Transponeren van een matrix

Het transponeren van een matrix verwisselt rijen en kolommen. Dit wordt aangeduid als $A^T$ .

Stel:

A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}

Dan geldt:

A^T = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}

Eigenschappen:

$(A^T)^T = A$ ;
$(A + B)^T = A^T + B^T$ ;
$(AB)^T = B^T A^T$ .

Determinant van een matrix

2×2 Matrix

Voor:

A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}

De determinant is:

\det(A) = ad - bc

3×3 Matrix

Voor:

A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}

De determinant is:

\det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)

Deze methode wordt cofactor-expansie genoemd.

Grotere matrices (4×4 en groter) kunnen recursief worden uitgebreid.
De determinant is nuttig omdat deze aangeeft of een matrix een inverse heeft (niet-nul determinant).

Inverse van een matrix

De inverse van een vierkante matrix $A$ wordt genoteerd als $A^{-1}$ . Deze voldoet aan $A \cdot A^{-1} = I$ , waarbij $I$ de identiteitsmatrix is.

Alleen vierkante matrices met een niet-nul determinant hebben een inverse.

Voorbeeld:

Als matrix A is:

A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}

Dan is de inverse matrix $A^{-1}$ :

A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}

Waarbij $\det(A) \neq 0$ .

Was alles duidelijk?

Bedankt voor je feedback!

Sectie 4. Hoofdstuk 3