In Python kunnen we afgeleiden symbolisch berekenen met behulp van sympy en deze visualiseren met matplotlib.

1. Symbolisch afgeleiden berekenen

# Define symbolic variable x
x = sp.symbols('x')
# Define the functions
f1 = sp.exp(x)  
f2 = 1 / (1 + sp.exp(-x))  
# Compute derivatives symbolically
df1 = sp.diff(f1, x)  
df2 = sp.diff(f2, x)

Uitleg:

• x wordt als symbolische variabele gedefinieerd met sp.symbols('x');
• De functie sp.diff(f, x) berekent de afgeleide van f naar x;
• Hiermee kunnen afgeleiden algebraïsch worden gemanipuleerd in Python.

2. Evalueren en plotten van functies en hun afgeleiden

# Convert symbolic functions to numerical functions for plotting
f1_lambda = sp.lambdify(x, f1, 'numpy')
df1_lambda = sp.lambdify(x, df1, 'numpy')
f2_lambda = sp.lambdify(x, f2, 'numpy')
df2_lambda = sp.lambdify(x, df2, 'numpy')

Uitleg:

• sp.lambdify(x, f, 'numpy') zet een symbolische functie om in een numerieke functie die geëvalueerd kan worden met numpy;
• Dit is noodzakelijk omdat matplotlib en numpy werken met numerieke arrays en niet met symbolische expressies.

3. Afgeleide-evaluaties afdrukken voor belangrijke punten

Ter controle van onze berekeningen drukken we de waarden van de afgeleiden af bij x = [-5, 0, 5].

# Evaluate derivatives at key points
test_points = [-5, 0, 5]
for x_val in test_points:
    print(f"x = {x_val}: e^x = {f2_lambda(x_val):.4f}, e^x' = {df2_lambda(x_val):.4f}")
    print(f"x = {x_val}: sigmoid(x) = {f4_lambda(x_val):.4f}, sigmoid'(x) = {df4_lambda(x_val):.4f}")
    print("-" * 50)