Notice: This page requires JavaScript to function properly.
Please enable JavaScript in your browser settings or update your browser.Leer Inleiding tot Integralen | Wiskundige Analyse
Wiskunde voor Data Science

bookInleiding tot Integralen

Note
Definitie

Integratie is een fundamenteel concept in de analyse dat de totale accumulatie van een grootheid weergeeft, zoals het gebied onder een kromme. Het is essentieel in datawetenschap voor het berekenen van kansverdelingen, cumulatieve waarden en optimalisatie.

Basisintegraal

De basisintegraal van een machtsfunctie volgt deze regel:

∫Cxndx=C(xn+1n+1)+C\int Cx^ndx = C\left( \frac{x^{n+1}}{n+1} \right) + C

Waarbij:

  • CC een constante is;
  • n≠−1n \neq -1;
  • ...+C...+C staat voor een willekeurige integratieconstante.

Belangrijk idee: als differentiëren de macht van xx verlaagt, verhoogt integreren deze.

Algemene integratieregels

Machtsregel voor integratie

Deze regel helpt bij het integreren van elke polynoomexpressie:

∫xndx=xn+1n+1+C, n≠−1\int x^ndx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+ C,\ n \neq -1

Bijvoorbeeld, als n=2n = 2:

∫x2dx=x33+C\int x^2dx = \frac{x^3}{3}+C

Exponentiële regel

De integraal van de exponentiële functie exe^x is uniek omdat deze na integratie hetzelfde blijft:

∫exdx=ex+C\int e^x dx = e^x + C

Maar als we een exponent met een coëfficiënt hebben, gebruiken we een andere regel:

∫eaxdx=1aeax+C, a≠0\int e^{ax} dx = \frac{1}{a}e^{ax} + C,\ a \neq 0

Bijvoorbeeld, als a=2a = 2:

∫e2xdx=e2x2+C\int e^{2x} dx = \frac{e^{2x}}{2} + C

Goniometrische integralen

Sinus- en cosinusfuncties volgen ook eenvoudige integratieregels:

∫sin⁡(x)dx=−cos⁡(x)+C∫cos⁡(x)dx=sin⁡(x)+C\int \sin(x) dx = -\cos(x) + C \\ \int \cos(x) dx = \sin(x) + C

Bepaalde integralen

In tegenstelling tot onbepaalde integralen, die een willekeurige constante CC bevatten, evalueren bepaalde integralen een functie tussen twee grenzen aa en bb:

∫abf(x)dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)

Waarbij F(x)F(x) de primitieve functie van f(x)f(x) is.

Bijvoorbeeld, als f(x)=2xf(x) = 2x, a=0a = 0 en b=2b = 2:

∫022x dx=[x2]=4−0=4\int^2_0 2x\ dx = \left[ x^2 \right] = 4 - 0 = 4

Dit betekent dat de oppervlakte onder de kromme y=2xy = 2x van x=0x=0 tot x=2x=2 gelijk is aan 44.

question mark

Bereken de integraal:

∫3x2dx\int 3x^2 dx

Select the correct answer

Was alles duidelijk?

Hoe kunnen we het verbeteren?

Bedankt voor je feedback!

Sectie 3. Hoofdstuk 5

Vraag AI

expand

Vraag AI

ChatGPT

Vraag wat u wilt of probeer een van de voorgestelde vragen om onze chat te starten.

Awesome!

Completion rate improved to 1.96

bookInleiding tot Integralen

Veeg om het menu te tonen

Note
Definitie

Integratie is een fundamenteel concept in de analyse dat de totale accumulatie van een grootheid weergeeft, zoals het gebied onder een kromme. Het is essentieel in datawetenschap voor het berekenen van kansverdelingen, cumulatieve waarden en optimalisatie.

Basisintegraal

De basisintegraal van een machtsfunctie volgt deze regel:

∫Cxndx=C(xn+1n+1)+C\int Cx^ndx = C\left( \frac{x^{n+1}}{n+1} \right) + C

Waarbij:

  • CC een constante is;
  • n≠−1n \neq -1;
  • ...+C...+C staat voor een willekeurige integratieconstante.

Belangrijk idee: als differentiëren de macht van xx verlaagt, verhoogt integreren deze.

Algemene integratieregels

Machtsregel voor integratie

Deze regel helpt bij het integreren van elke polynoomexpressie:

∫xndx=xn+1n+1+C, n≠−1\int x^ndx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+ C,\ n \neq -1

Bijvoorbeeld, als n=2n = 2:

∫x2dx=x33+C\int x^2dx = \frac{x^3}{3}+C

Exponentiële regel

De integraal van de exponentiële functie exe^x is uniek omdat deze na integratie hetzelfde blijft:

∫exdx=ex+C\int e^x dx = e^x + C

Maar als we een exponent met een coëfficiënt hebben, gebruiken we een andere regel:

∫eaxdx=1aeax+C, a≠0\int e^{ax} dx = \frac{1}{a}e^{ax} + C,\ a \neq 0

Bijvoorbeeld, als a=2a = 2:

∫e2xdx=e2x2+C\int e^{2x} dx = \frac{e^{2x}}{2} + C

Goniometrische integralen

Sinus- en cosinusfuncties volgen ook eenvoudige integratieregels:

∫sin⁡(x)dx=−cos⁡(x)+C∫cos⁡(x)dx=sin⁡(x)+C\int \sin(x) dx = -\cos(x) + C \\ \int \cos(x) dx = \sin(x) + C

Bepaalde integralen

In tegenstelling tot onbepaalde integralen, die een willekeurige constante CC bevatten, evalueren bepaalde integralen een functie tussen twee grenzen aa en bb:

∫abf(x)dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)

Waarbij F(x)F(x) de primitieve functie van f(x)f(x) is.

Bijvoorbeeld, als f(x)=2xf(x) = 2x, a=0a = 0 en b=2b = 2:

∫022x dx=[x2]=4−0=4\int^2_0 2x\ dx = \left[ x^2 \right] = 4 - 0 = 4

Dit betekent dat de oppervlakte onder de kromme y=2xy = 2x van x=0x=0 tot x=2x=2 gelijk is aan 44.

question mark

Bereken de integraal:

∫3x2dx\int 3x^2 dx

Select the correct answer

Was alles duidelijk?

Hoe kunnen we het verbeteren?

Bedankt voor je feedback!

Sectie 3. Hoofdstuk 5
some-alt