Notice: This page requires JavaScript to function properly.
Please enable JavaScript in your browser settings or update your browser.Leer Inleiding tot Limieten | Wiskundige Analyse
Wiskunde voor Data Science

bookInleiding tot Limieten

Note
Definitie

Een limiet is een fundamenteel concept in de analyse dat de waarde beschrijft waarnaar een functie nadert als haar invoer een specifiek punt benadert. Limieten vormen de basis voor het definiëren van afgeleiden en integralen, waardoor ze essentieel zijn in wiskundige analyse en optimalisatie binnen machine learning.

Formele Definitie & Notatie

Een limiet geeft de waarde aan waarnaar een functie nadert als de invoer willekeurig dicht bij een punt komt.

lim⁡x→af(x)=L\lim_{x \rarr a}f(x) = L

Dit betekent dat als xx willekeurig dicht bij aa komt, f(x)f(x) nadert LL.

Note
Opmerking

De functie hoeft niet gedefinieerd te zijn bij x=ax=a om de limiet te laten bestaan.

Éénzijdige & Tweezijdige Limieten

Een limiet kan van beide kanten worden benaderd:

  • Linkszijdige limiet: benadering van aa vanuit waarden kleiner dan aa:
lim⁡x→a−f(x) \lim_{x \rarr a^-}f(x)
  • Rechtszijdige limiet: benadering van aa vanuit waarden groter dan aa:
lim⁡x→a+f(x)\lim_{x \rarr a^+}f(x)
  • De limiet bestaat alleen als beide éénzijdige limieten gelijk zijn:
lim⁡x→a−f(x)=lim⁡x→a+f(x) \lim_{x \rarr a^-}f(x) = \lim_{x \rarr a^+}f(x)

Wanneer Limieten Niet Bestaan

Een limiet bestaat niet in de volgende gevallen:

  • Sprongdiscontinuïteit:
lim⁡x→a−f(x)≠lim⁡x→a+f(x) \lim_{x \rarr a^-}f(x) \neq \lim_{x \rarr a^+}f(x)
  • Voorbeeld: een stapfunctie waarbij de linker- en rechterlimiet verschillend zijn.
  • Oneindige limiet:
lim⁡x→01x2=∞\lim_{x \rarr 0}\frac{1}{x^2}=\infty
  • De functie groeit onbegrensd.
  • Oscillatie:
lim⁡x→0sin⁡(1x)\lim_{x \rarr 0}\sin\left(\frac{1}{x}\right)
  • De functie fluctueert oneindig zonder naar één waarde te convergeren.

Speciale Gevallen – Limieten bij Oneindig

Wanneer xx naar oneindig nadert, wordt het eindgedrag van functies geanalyseerd:

  • Rationale functies:
lim⁡x→∞1x=0\lim_{x \rarr \infty}\frac{1}{x}=0
  • Polynoomgroei:
lim⁡x→∞x2x=∞\lim_{x \rarr \infty}\frac{x^2}{x}=\infty
  • Dominante term regel:
lim⁡x→∞axmbxn={0, if m<n,ab, if m=n,±∞, if m>n.\lim_{x \to \infty} \frac{a x^m}{b x^n} = \begin{cases} 0,\ \text{if } m < n,\\ \frac{a}{b},\ \text{if } m = n, \\ \pm \infty,\ \text{if } m > n. \end{cases}
question mark

Welke uitspraak beschrijft correct wanneer een limiet bestaat?

Select the correct answer

Was alles duidelijk?

Hoe kunnen we het verbeteren?

Bedankt voor je feedback!

Sectie 3. Hoofdstuk 1

Vraag AI

expand

Vraag AI

ChatGPT

Vraag wat u wilt of probeer een van de voorgestelde vragen om onze chat te starten.

Suggested prompts:

Can you explain the difference between one-sided and two-sided limits?

What are some common techniques for evaluating limits?

Can you give examples of when a limit does not exist?

Awesome!

Completion rate improved to 1.96

bookInleiding tot Limieten

Veeg om het menu te tonen

Note
Definitie

Een limiet is een fundamenteel concept in de analyse dat de waarde beschrijft waarnaar een functie nadert als haar invoer een specifiek punt benadert. Limieten vormen de basis voor het definiëren van afgeleiden en integralen, waardoor ze essentieel zijn in wiskundige analyse en optimalisatie binnen machine learning.

Formele Definitie & Notatie

Een limiet geeft de waarde aan waarnaar een functie nadert als de invoer willekeurig dicht bij een punt komt.

lim⁡x→af(x)=L\lim_{x \rarr a}f(x) = L

Dit betekent dat als xx willekeurig dicht bij aa komt, f(x)f(x) nadert LL.

Note
Opmerking

De functie hoeft niet gedefinieerd te zijn bij x=ax=a om de limiet te laten bestaan.

Éénzijdige & Tweezijdige Limieten

Een limiet kan van beide kanten worden benaderd:

  • Linkszijdige limiet: benadering van aa vanuit waarden kleiner dan aa:
lim⁡x→a−f(x) \lim_{x \rarr a^-}f(x)
  • Rechtszijdige limiet: benadering van aa vanuit waarden groter dan aa:
lim⁡x→a+f(x)\lim_{x \rarr a^+}f(x)
  • De limiet bestaat alleen als beide éénzijdige limieten gelijk zijn:
lim⁡x→a−f(x)=lim⁡x→a+f(x) \lim_{x \rarr a^-}f(x) = \lim_{x \rarr a^+}f(x)

Wanneer Limieten Niet Bestaan

Een limiet bestaat niet in de volgende gevallen:

  • Sprongdiscontinuïteit:
lim⁡x→a−f(x)≠lim⁡x→a+f(x) \lim_{x \rarr a^-}f(x) \neq \lim_{x \rarr a^+}f(x)
  • Voorbeeld: een stapfunctie waarbij de linker- en rechterlimiet verschillend zijn.
  • Oneindige limiet:
lim⁡x→01x2=∞\lim_{x \rarr 0}\frac{1}{x^2}=\infty
  • De functie groeit onbegrensd.
  • Oscillatie:
lim⁡x→0sin⁡(1x)\lim_{x \rarr 0}\sin\left(\frac{1}{x}\right)
  • De functie fluctueert oneindig zonder naar één waarde te convergeren.

Speciale Gevallen – Limieten bij Oneindig

Wanneer xx naar oneindig nadert, wordt het eindgedrag van functies geanalyseerd:

  • Rationale functies:
lim⁡x→∞1x=0\lim_{x \rarr \infty}\frac{1}{x}=0
  • Polynoomgroei:
lim⁡x→∞x2x=∞\lim_{x \rarr \infty}\frac{x^2}{x}=\infty
  • Dominante term regel:
lim⁡x→∞axmbxn={0, if m<n,ab, if m=n,±∞, if m>n.\lim_{x \to \infty} \frac{a x^m}{b x^n} = \begin{cases} 0,\ \text{if } m < n,\\ \frac{a}{b},\ \text{if } m = n, \\ \pm \infty,\ \text{if } m > n. \end{cases}
question mark

Welke uitspraak beschrijft correct wanneer een limiet bestaat?

Select the correct answer

Was alles duidelijk?

Hoe kunnen we het verbeteren?

Bedankt voor je feedback!

Sectie 3. Hoofdstuk 1
some-alt