Leer Inleidingen tot Afgeleiden | Wiskundige Analyse

Definitie

Een afgeleide is een maat voor hoe een functie verandert wanneer de invoer verandert. Het geeft de mate van verandering van de functie weer en is fundamenteel bij het analyseren van trends, optimaliseren van processen en voorspellen van gedrag in vakgebieden zoals natuurkunde, economie en machine learning.

De limietdefinitie van een afgeleide

De afgeleide van een functie $f(x)$ op een specifiek punt $x = a$ wordt gegeven door:

\lim_{h \rarr 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}

Deze formule geeft aan hoeveel $f(x)$ verandert wanneer we een kleine stap $h$ nemen langs de x-as. Hoe kleiner $h$ wordt, hoe dichter we bij de instantane verandering komen.

Basisregels voor afgeleiden

Machtregel

Als een functie een macht van $x$ is, volgt de afgeleide:

\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}

Dit betekent dat bij het differentiëren de exponent naar beneden wordt gehaald en met één wordt verminderd:

\frac{d}{dx}x^3=3x^2

Constante Regel

De afgeleide van een constante is nul:

\frac{d}{dx}C=0

Bijvoorbeeld, als $f(x) = 5$ , dan:

\frac{d}{dx}5=0

Som- en Verschilregel

De afgeleide van een som of verschil van functies volgt:

\frac{d}{dx} \left[ f(x) \pm g(x) \right] = f'(x) \pm g'(x)

Bijvoorbeeld, afzonderlijk differentiëren:

\frac{d}{dx}(x^3 + 2x) = 3x^2 + 2

Product- en Quotiëntregels

Productregel

Als twee functies worden vermenigvuldigd, wordt de afgeleide als volgt bepaald:

\frac{d}{dx}[f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

Dit betekent dat elke functie afzonderlijk wordt gedifferentieerd en vervolgens hun producten worden opgeteld. Als $f(x)=x^2$ en $g(x) = e^x$ , dan:

\frac{d}{dx}[x^2e^x] = 2xe^x + x^3e^x

Quotiëntregel

Bij het delen van functies, gebruik:

\frac{d}{dx} \left[ \frac{f(x)}{g(x)} \right] = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}

Als $f(x)=x^2$ en $g(x)=x+1$ , dan:

\frac{d}{dx} \left[ \frac{x^2}{x + 1} \right] = \frac{2x(x+1) - x^2(1)}{(x+1)^2}

Kettingregel: Afgeleiden van Samengestelde Functies

Bij het differentiëren van geneste functies, gebruik:

\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)

Bijvoorbeeld, als $y = (3x + 2)^5$ , dan:

\frac{d}{dx}(3x+2)^5 = 5(3x+2)^4 \cdot 3 = 15(3x+2)^4

Deze regel is essentieel in neurale netwerken en machine learning-algoritmen.

Voorbeeld van de exponentiële kettingregel:

Bij het differentiëren van iets als:

y =e^{2x^2}

Je hebt te maken met een samengestelde functie:

Buitenste functie: $e^u$
Binnenste functie: $u = 2x^2$

Pas de kettingregel stap voor stap toe:

\frac{d}{dx}2x^2=4x

Vermenigvuldig vervolgens met de oorspronkelijke exponentiële functie:

\frac{d}{dx}\left( e^{2x^2} \right) = 4x \cdot e^{2x^2}

Meer Bestuderen

In machine learning en neurale netwerken komt dit voor bij het werken met exponentiële activaties of verliesfuncties.

Voorbeeld van de logaritmische kettingregel:

Differentieer $\ln(2x)$ . Dit is opnieuw een samengestelde functie — logaritme aan de buitenkant, lineair aan de binnenkant.

Differentieer het binnenste gedeelte:

\frac{d}{dx}(2x)=2

Pas nu de kettingregel toe op de logaritme:

\frac{d}{dx}\ln(2x) = \frac{1}{2x} \cdot 2

Dit vereenvoudigt tot:

\frac{d}{dx}\ln(2x) = \frac{2}{2x} = \frac{1}{x}

Opmerking

Zelfs als $\ln(kx)$ wordt gedifferentieerd, is het resultaat altijd $\frac{\raisebox{1pt}{$1$}}{\raisebox{-1pt}{$x$}}$ omdat de constanten wegvallen.

Speciaal Geval: Afgeleide van de Sigmoidfunctie

De sigmoidfunctie wordt vaak gebruikt in machine learning:

\sigma(x) = \frac{1}{1+x^{-x}}

De afgeleide hiervan speelt een cruciale rol bij optimalisatie:

\sigma'(x) = \sigma(x)(1 - \sigma(x))

Als $f(x) = \frac{\raisebox{1pt}{$1$}}{\raisebox{-3pt}{$1 + e^{-x}$}}$ , dan geldt:

f'(x) = \frac{e^{-x}}{(1 + e^{-x})^2}

Deze formule zorgt ervoor dat de gradiënten tijdens het trainen vloeiend blijven.

Was alles duidelijk?

Bedankt voor je feedback!

Sectie 3. Hoofdstuk 3

Vraag AI

Vraag wat u wilt of probeer een van de voorgestelde vragen om onze chat te starten.

Suggested prompts:

Can you explain the limit definition of a derivative with a simple example?

How do the product, quotient, and chain rules differ in practice?

Can you show how to find the derivative of a more complex function using these rules?

Awesome!

Completion rate improved to 1.96

Veeg om het menu te tonen