Leer Limieten Implementeren in Python

Voordat je onderzoekt hoe limieten zich visueel gedragen, is het belangrijk te weten hoe je deze direct kunt berekenen met behulp van de sympy-bibliotheek. Hier volgen drie veelvoorkomende typen limieten die je zult tegenkomen.

1. Eindige limiet

Dit voorbeeld toont een functie die een specifieke eindige waarde nadert als $x \to 2$ .


              12345678
            
import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
f = (x**2 - 4) / (x - 2)

# Compute the limit as x approaches 2
limit_value = sp.limit(f, x, 2)
print("Limit of f(x) as x approaches 2:", limit_value)

2. Limiet die niet bestaat

Hier gedraagt de functie zich verschillend vanaf de linker- en rechterzijde, waardoor de limiet niet bestaat.


              1234567891011
            
import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
f = (2 - x)

# Compute the limit as x approaches infinity and negative infinity
left_limit = sp.limit(f, x, -sp.oo)
right_limit = sp.limit(f, x, sp.oo)

print("Left-hand limit:", left_limit)
print("Right-hand limit:", right_limit)

3. Oneindige limiet

Dit voorbeeld toont een functie die naar nul nadert wanneer (x) oneindig groot wordt.


              12345678
            
import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
f = 1 / x

# Compute the limit as x approaches infinity
limit_value = sp.limit(f, x, sp.oo)
print("Limit of 1/x as x approaches infinity:", limit_value)

Deze korte codefragmenten tonen het gebruik van sympy.limit() om verschillende soorten limieten te berekenen - eindig, ongedefinieerd en oneindig - voordat ze grafisch worden geanalyseerd

Definiëren van de functies

f_diff = (2 - x)  # Approaches 2 as x → -∞ and -∞ as x → +∞
f_same = 1 / x  # Approaches 0 as x → ±∞
f_special = sp.sin(x) / x  # Special limit sin(x)/x

f_diff: een eenvoudige lineaire functie waarbij de linker- en rechterlimiet uiteenlopen;
f_same: de klassieke reciproke functie, die vanaf beide zijden dezelfde limiet nadert;
f_special: een bekende limiet in de analyse, die gelijk is aan 1 als $x \to 0$ .

Omgaan met deling door nul

y_vals_same = [f_same.subs(x, val).evalf() if val != 0 else np.nan for val in x_vals]
y_vals_special = [f_special.subs(x, val).evalf() if val != 0 else 1 for val in x_vals]

De functie f_same = 1/x heeft een probleem bij $x = 0$ (deling door nul), daarom vervangen we dit door NaN (Not a Number) om fouten te voorkomen;
Voor f_special is bekend dat $\lim_{\raisebox{-1pt}{$x \to 0$}}\frac{\raisebox{1pt}{$sin(x)$}}{\raisebox{-1pt}{$x$}} = 1$ , dus wijzen we handmatig $1$ toe wanneer $x = 0$ .

Horizontale asymptoten plotten

axs[1].axhline(0, color='blue', linestyle='dashed', linewidth=2, label='y = 0 (horizontal asymptote)')
axs[2].axhline(1, color='red', linestyle='dashed', linewidth=2, label=r"$y = 1$ (horizontal asymptote)")

De functie 1/x heeft een horizontale asymptoot bij $y = 0$ ;
De functie sin(x)/x nadert $y = 1$ , daarom voegen we een gestreepte rode lijn toe voor visuele duidelijkheid.

Was alles duidelijk?

Bedankt voor je feedback!

Sectie 3. Hoofdstuk 2

Vraag AI

Vraag wat u wilt of probeer een van de voorgestelde vragen om onze chat te starten.

Suggested prompts:

Can you explain more about how to interpret the results of these limits?

What is the significance of horizontal asymptotes in these examples?

Could you provide more details about the special limit involving sin(x)/x?

Awesome!

Completion rate improved to 1.96

Veeg om het menu te tonen