Leer Introductie tot Reeksen | Verzamelingen en Reeksen

Definitie

Een reeks is een wiskundige uitdrukking die ontstaat door de termen van een rij op te tellen. De meest voorkomende typen zijn de rekenkundige reeks en de meetkundige reeks, die verschillen in de manier waarop hun termen voortschrijden.

Rekenkundige reeks

Een rekenkundige reeks ontstaat wanneer het verschil tussen opeenvolgende termen in een rij constant is.

2, 5, 8, 11, 14, ...; (\text{gemeenschappelijk verschil}, d = 3)

De som van de eerste $n$ termen van een rekenkundige reeks wordt gegeven door:

S_n = \frac{n}{2} \cdot (a + l)

Waarbij:

$n$ - aantal termen;
$a$ - eerste term;
$l$ - laatste term.

Als de laatste term $l$ niet bekend is:

S_n = \frac{n}{2} \cdot \left( 2a + (n - 1) \cdot d \right)

Voorbeeld

Bepaal de som van de eerste 10 termen van de reeks $2,5,8,...$

S_{10} = \frac{10}{2} \cdot (2 + (10 - 1) \cdot 3) = 5 \cdot (2 + 27) = 145

Meetkundige Reeksen

Een meetkundige reeks ontstaat wanneer elk volgend element in de rij wordt verkregen door het vorige element te vermenigvuldigen met een vaste verhouding.

3,6,12,24,48,...;(\text{common ratio}, r=2)

De som van de eerste $n$ termen van een meetkundige reeks wordt gegeven door:

S_n = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r},\ r \neq 1

Waarbij:

$a$ - eerste term;
$r$ - vaste verhouding;
$n$ - aantal termen.

Als de reeks oneindig is en $|r|<1$ :

S = \frac{a}{1 - r}

Voorbeeld:

Bepaal de som van de eerste 4 termen van de reeks $3,6,12,24,...$

S_4 = 3 \cdot \frac{1-2^4}{1-2} = 3 \cdot \frac{1-16}{-1}=3 \cdot 15 = 45

Toepassingen in de praktijk

Rekenkundige en meetkundige reeksen komen voor in veel datawetenschappelijke contexten:

Bevolkingsgroei en grondstofmodellering via meetkundige progressies;
Financiële analyse met behulp van samengestelde rente;
Omzetprognoses over verschillende perioden;
Machine learning, waarbij sommaties voorkomen in algoritmen zoals gradient descent.

Was alles duidelijk?

Bedankt voor je feedback!

Sectie 2. Hoofdstuk 4

Vraag AI

Vraag wat u wilt of probeer een van de voorgestelde vragen om onze chat te starten.

Veeg om het menu te tonen

Definitie

Rekenkundige reeks

Een rekenkundige reeks ontstaat wanneer het verschil tussen opeenvolgende termen in een rij constant is.

2, 5, 8, 11, 14, ...; (\text{gemeenschappelijk verschil}, d = 3)

De som van de eerste $n$ termen van een rekenkundige reeks wordt gegeven door:

S_n = \frac{n}{2} \cdot (a + l)

Waarbij:

$n$ - aantal termen;
$a$ - eerste term;
$l$ - laatste term.

Als de laatste term $l$ niet bekend is:

S_n = \frac{n}{2} \cdot \left( 2a + (n - 1) \cdot d \right)

Voorbeeld

Bepaal de som van de eerste 10 termen van de reeks $2,5,8,...$

S_{10} = \frac{10}{2} \cdot (2 + (10 - 1) \cdot 3) = 5 \cdot (2 + 27) = 145

Meetkundige Reeksen

Een meetkundige reeks ontstaat wanneer elk volgend element in de rij wordt verkregen door het vorige element te vermenigvuldigen met een vaste verhouding.

3,6,12,24,48,...;(\text{common ratio}, r=2)

De som van de eerste $n$ termen van een meetkundige reeks wordt gegeven door:

S_n = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r},\ r \neq 1

Waarbij:

$a$ - eerste term;
$r$ - vaste verhouding;
$n$ - aantal termen.

Als de reeks oneindig is en $|r|<1$ :

S = \frac{a}{1 - r}

Voorbeeld:

Bepaal de som van de eerste 4 termen van de reeks $3,6,12,24,...$

S_4 = 3 \cdot \frac{1-2^4}{1-2} = 3 \cdot \frac{1-16}{-1}=3 \cdot 15 = 45

Toepassingen in de praktijk

Rekenkundige en meetkundige reeksen komen voor in veel datawetenschappelijke contexten:

Bevolkingsgroei en grondstofmodellering via meetkundige progressies;
Financiële analyse met behulp van samengestelde rente;
Omzetprognoses over verschillende perioden;
Machine learning, waarbij sommaties voorkomen in algoritmen zoals gradient descent.

Was alles duidelijk?

Bedankt voor je feedback!

Sectie 2. Hoofdstuk 4