Summary  
This chapter derives the t-statistic by combining the difference in sample means, the pooled variance estimate, and the sample sizes into a single formula for comparison.  

General domain of usage  
Statistical hypothesis testing

De taak van de t-toets is om te bepalen of het verschil tussen de gemiddelden van de twee steekproeven significant is. Waar moet je rekening mee houden om deze uit te voeren?  

Uiteraard moet je rekening houden met het **verschil tussen de gemiddelden** zelf.


Zoals te zien is in de onderstaande afbeelding, is de **variantie** ook van belang.

Ook de **omvang** van elke steekproef moet in overweging worden genomen.

Om rekening te houden met het **verschil tussen de gemiddelden**, wordt eenvoudigweg dat verschil berekend:

$$
\bar{x}_1-\bar{x}_0
$$

De situatie wordt complexer wanneer het om de **variantie** gaat. De t-toets gaat ervan uit dat de variantie gelijk is voor beide steekproeven. Dit wordt verder besproken in het hoofdstuk *t-test assumptions*. Om de variantie uit twee steekproeven te schatten, wordt de **gepoolde variantie** formule toegepast.

$$
s^2_{pooled} = \frac{s^2_1 \cdot df_1 + s^2_2 \cdot df_2}{df_1 + df_2} = \frac{s^2_1(n_1-1)+s^2_2(n_2-1)}{n_1+n_2-2}
$$

Waarbij:
- $$n_1$$ - grootte van de i-de steekproef;
- $$df_1 = n_i - 1$$ - i-de vrijheidsgraad;
- $$s_{\raisebox{-1pt}{i}}^{\raisebox{1pt}{2}}$$ - i-de steekproefvariantie.

En om rekening te houden met de **grootte**, zijn de steekproefgroottes nodig:

$$
n_1, n_2 - \text{zijn de steekproefgroottes}
$$


Alles samenvoegen tot de **t-statistiek**.

$$
t = \frac{\bar{x}_1-\bar{x}_0}{\sqrt{s^2_{pooled}}\ \cdot\ \sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}
$$

Steekproefgroottes worden niet altijd op de meest intuïtieve manier gebruikt. Deze benadering zorgt er echter voor dat **t** de **t-verdeling** volgt, wat in het volgende hoofdstuk verder wordt behandeld.

Welke steekproefeigenschappen houdt de t-toets in rekening?

Bouw een sterke basis in statistiek met behulp van Python. Leer essentiële statistische concepten en pas deze toe via NumPy en pandas. Ga van basismaatregelen zoals gemiddelde en variantie naar hypothese-toetsing, betrouwbaarheidsintervallen en data-gedreven inzichten met praktische oefeningen.

Ontdek de kernprincipes van statistiek, waaronder datatypes, maten van centrale tendentie en belangrijke verschillen tussen steekproeven en populaties.

Leer het berekenen en interpreteren van het gemiddelde, de mediaan en de modus met Python. Oefen deze bewerkingen met pandas om echte datasets te analyseren.

Begrijpen hoe variantie en standaarddeviatie de spreiding van gegevens meten. Leren om beide handmatig en met behulp van Python-tools te berekenen.

Ontdek hoe covariantie en correlatie relaties tussen variabelen beschrijven. Oefen met het berekenen en vergelijken van beide statistieken in Python.

Beheers betrouwbaarheidsintervallen om populatieparameters te schatten. Gebruik NumPy, pandas en visualisatielibraries om intervallen te berekenen en te interpreteren met echte data.

Leer de basisprincipes van hypothesetoetsing en de t-toets. Begrijp hoe je testen ontwerpt, uitvoert en interpreteert met Python ter ondersteuning van datagedreven besluitvorming.

T-toets Wiskundig