Cosinusgelijkenis en Pearson-correlatie

Cosinusgelijkenis

Cosinusgelijkenis is een maatstaf die de gelijkenis tussen twee vectoren kwantificeert door de cosinus van de hoek tussen hen te meten. Het wordt wiskundig gedefinieerd als:

Cosine Similarity = $\frac {\sum_{i=1}^{n} A_i B_i} {\sqrt{\sum_{i=1}^{n} A_i^2} \cdot \sqrt{\sum_{i=1}^{n} B_i^2}}$

waarbij A en B gebruikers- of itemvectoren zijn. Geometrisch geeft cosinusgelijkenis weer hoe uitgelijnd twee vectoren zijn, ongeacht hun grootte. Een waarde van 1 betekent dat de vectoren in dezelfde richting wijzen (maximale gelijkenis), 0 betekent dat ze orthogonaal zijn (geen gelijkenis), en -1 betekent dat ze in tegenovergestelde richting wijzen. In gedragsmatige matching is cosinusgelijkenis nuttig wanneer het patroon van voorkeuren belangrijker is dan de absolute waarden, bijvoorbeeld bij het vergelijken van gebruikers die items op verschillende schalen beoordelen.

Pearson-correlatie

Pearson-correlatie meet de lineaire relatie tussen twee vectoren, waarbij zowel de richting als het gemiddelde van de gegevens in aanmerking worden genomen. De formule is:

$\text{Pearson Correlation} = \frac{\sum_{i=1}^{n} (A_i - \bar{A})(B_i - \bar{B})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n} (A_i - \bar{A})^2} \cdot \sqrt{\sum_{i=1}^{n} (B_i - \bar{B})^2}}$

waarbij $\bar{A}$ en $\bar{B}$ de gemiddelden zijn van de vectoren A en B. Pearson-correlatie varieert van -1 (perfect negatieve lineaire relatie) tot 1 (perfect positieve lineaire relatie), met 0 als aanduiding voor geen lineaire relatie. Deze maatstaf is vooral nuttig wanneer gebruikers of items vergeleken worden na het verwijderen van individuele vooroordelen, bijvoorbeeld wanneer een gebruiker consequent hoger of lager beoordeelt dan een ander.

Vergelijking

Voorbeeld: Beide Maten Berekenen

Stel, je hebt twee gebruikers die vier items hebben beoordeeld. Hun beoordelingen zijn:

• Gebruiker 1: [4, 0, 3, 5]
• Gebruiker 2: [5, 1, 2, 4]

Je kunt zowel de cosinusgelijkenis als de Pearson-correlatie voor deze vectoren berekenen om hun gedragsmatige gelijkenis te vergelijken.

Stapsgewijze Uitleg van de Code

Definiëren van Gebruikersbeoordelingsarrays

• user1 = np.array([4, 0, 3, 5]);
• user2 = np.array([5, 1, 2, 4]);

Je maakt twee NumPy-arrays aan, elk die de beoordelingen van een gebruiker voor vier items weergeven. Deze arrays zijn je gebruikersvectoren.

Definiëren van de Cosinusgelijkenisfunctie

def cosine_similarity(a, b):
    dot_product = np.dot(a, b)
    norm_a = np.linalg.norm(a)
    norm_b = np.linalg.norm(b)
    return dot_product / (norm_a * norm_b)

• Berekening van het inwendig product: dot_product = np.dot(a, b);
  Vermenigvuldigt overeenkomstige elementen van de twee vectoren en telt deze op. Dit meet in hoeverre de twee vectoren in dezelfde richting wijzen.
• Normberekeningen:
  norm_a = np.linalg.norm(a);
norm_b = np.linalg.norm(b);
  Berekent de lengte (magnitude) van elke gebruikersvector. De norm is de vierkantswortel van de som van de kwadraten van de elementen van de vector.
• Gelijkenisberekening: return dot_product / (norm_a * norm_b);
  Deelt het inwendig product door het product van de twee normen. Het resultaat is de cosinus van de hoek tussen de twee vectoren, wat hun gelijkenis aangeeft.

Berekenen van Cosinusgelijkenis en Afdrukken
cos_sim = cosine_similarity(user1, user2);
print(f"Cosine Similarity: {cos_sim:.4f}");
Je roept de functie aan met je gebruikersvectoren om hun cosinusgelijkenis te berekenen en drukt vervolgens het resultaat af, geformatteerd tot vier decimalen.

Berekenen van Pearson-correlatie en Afdrukken
pearson_corr = np.corrcoef(user1, user2)[0, 1];
print(f"Pearson Correlation: {pearson_corr:.4f}");
Je gebruikt np.corrcoef om de Pearson-correlatiematrix voor de twee gebruikersvectoren te berekenen. De waarde op positie [0, 1] geeft de correlatie tussen gebruiker 1 en gebruiker 2. Het afdrukken van deze waarde toont hoe sterk de beoordelingspatronen van de gebruikers lineair gerelateerd zijn na het verwijderen van hun gemiddelde beoordelingsbias.