Leer Implementatie van Backpropagatie | Neuraal Netwerk Vanaf Nul

Algemene aanpak

Bij voorwaartse propagatie neemt elke laag $l$ de uitgangen van de vorige laag, $a^{l-1}$ , als invoer en berekent zijn eigen uitgangen. Daarom neemt de forward()-methode van de Layer-klasse de vector van vorige uitgangen als enige parameter, terwijl de rest van de benodigde informatie binnen de klasse wordt opgeslagen.

Bij achterwaartse propagatie heeft elke laag $l$ alleen $da^l$ nodig om de respectievelijke gradiënten te berekenen en $da^{l-1}$ terug te geven, dus de backward()-methode neemt de $da^l$ -vector als parameter. De overige benodigde informatie is al opgeslagen in de Layer-klasse.

Afgeleiden van activatiefuncties

Omdat afgeleiden van activatiefuncties nodig zijn voor achterwaartse propagatie, moeten activatiefuncties zoals ReLU en sigmoid worden opgezet als klassen in plaats van losse functies. Hierdoor kunnen we zowel:

De activatiefunctie zelf (geïmplementeerd via de __call__()-methode), zodat deze direct kan worden toegepast in de Layer-klasse met self.activation(z);
De afgeleide ervan (geïmplementeerd via de derivative()-methode), wat efficiënte achterwaartse propagatie mogelijk maakt en wordt gebruikt in de Layer-klasse als self.activation.derivative(z).

Door activatiefuncties als objecten te structureren, kunnen we ze eenvoudig doorgeven aan de Layer-klasse en dynamisch gebruiken.

ReLu

De afgeleide van de ReLU-activatiefunctie is als volgt, waarbij $z_i$ een element is van de vector van pre-activaties $z$ :

f'(z_i) = \begin{cases} 1, z_i > 0\\ 0, z_i \le 0 \end{cases}

class ReLU:
    def __call__(self, z):
        return np.maximum(0, z)

    def derivative(self, z):
        return (z > 0).astype(float)

Sigmoid

De afgeleide van de sigmoid activatiefunctie is als volgt:

f'(z_i) = f(z_i) \cdot (1 - f(z_i))

class Sigmoid:
    def __call__(self, x):
        return 1 / (1 + np.exp(-z))

    def derivative(self, z):
        sig = self(z)
        return sig * (1 - sig)

Voor beide activatiefuncties passen we deze toe op de volledige vector $z$ , evenals op hun afgeleiden. NumPy past de bewerking intern toe op elk element van de vector. Bijvoorbeeld, als de vector $z$ 3 elementen bevat, verloopt de afleiding als volgt:

f'(z) = f'( \begin{bmatrix} z_1\\ z_2\\ z_3 \end{bmatrix} ) = \begin{bmatrix} f'(z_1)\\ f'(z_2)\\ f'(z_3) \end{bmatrix}

De backward()-methode

De backward()-methode is verantwoordelijk voor het berekenen van de gradiënten met behulp van de onderstaande formules:

\begin{aligned} dz^l &= da^l \odot f'^l(z^l)\\ dW^l &= dz^l \cdot (a^{l-1})^T\\ db^l &= dz^l\\ da^{l-1} &= (W^l)^T \cdot dz^l \end{aligned}

a^{l-1} en $z^l$ worden respectievelijk opgeslagen als de attributen inputs en outputs in de klasse Layer. De activatiefunctie $f$ wordt opgeslagen als het attribuut activation.

Zodra alle benodigde gradiënten zijn berekend, kunnen de gewichten en biases worden bijgewerkt, aangezien deze niet langer nodig zijn voor verdere berekeningen:

\begin{aligned} W^l &= W^l - \alpha \cdot dW^l\\ b^l &= b^l - \alpha \cdot db^l \end{aligned}

Daarom is learning_rate ( $\alpha$ ) een andere parameter van deze methode.

def backward(self, da, learning_rate):
    dz = ...
    d_weights = ...
    d_biases = ...
    da_prev = ...

    self.weights -= learning_rate * d_weights
    self.biases -= learning_rate * d_biases

    return da_prev

Opmerking

De *-operator voert elementgewijze vermenigvuldiging uit, terwijl de functie np.dot() een dotproduct uitvoert in NumPy. Het attribuut .T transponeert een array.

Was alles duidelijk?

Bedankt voor je feedback!

Sectie 2. Hoofdstuk 8

Vraag AI

Vraag wat u wilt of probeer een van de voorgestelde vragen om onze chat te starten.

Suggested prompts:

Can you explain how the backward() method uses the stored attributes in the Layer class?

What is the purpose of the activation function's derivative in backpropagation?

Could you provide an example of how to use these activation function classes in a neural network layer?

Awesome!

Completion rate improved to 4

Veeg om het menu te tonen