Aprenda Combinando Transformações | Transformações Geométricas

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Ao trabalhar com formas geométricas, muitas vezes é necessário aplicar mais de uma transformação a uma forma. Esse processo é chamado de composição de transformações. A ordem em que você aplica as transformações—como translação, rotação e escala—é extremamente importante, pois cada transformação altera a posição, o tamanho ou a orientação da forma de uma maneira que afeta a próxima operação.

Suponha que você comece com um polígono e queira transladá-lo (movê-lo), depois rotacioná-lo e, por fim, escalá-lo. Se você mudar a ordem—por exemplo, escalar primeiro, depois rotacionar e, por último, transladar—poderá obter um resultado muito diferente. Isso ocorre porque as transformações não são comutativas: A seguida de B nem sempre produz o mesmo resultado que B seguida de A.

Para combinar transformações, aplique cada uma à forma em sequência. Cada etapa utiliza o resultado da etapa anterior como entrada. Essa abordagem permite construir manipulações complexas a partir de operações simples, mas é fundamental estar sempre atento à ordem.


              1234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647
            
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Define a simple triangle polygon
polygon = np.array([
    [0, 0],
    [1, 0],
    [0.5, 1],
    [0, 0]
])

# Translation: move by (2, 1)
def translate(points, tx, ty):
    return points + np.array([tx, ty])

# Rotation: rotate by theta degrees around origin
def rotate(points, theta_deg):
    theta = np.radians(theta_deg)
    rotation_matrix = np.array([
        [np.cos(theta), -np.sin(theta)],
        [np.sin(theta),  np.cos(theta)]
    ])
    return points @ rotation_matrix.T

# Scaling: scale by (sx, sy)
def scale(points, sx, sy):
    scaling_matrix = np.array([
        [sx, 0],
        [0, sy]
    ])
    return points @ scaling_matrix.T

# Apply transformations
translated = translate(polygon, 2, 1)
rotated = rotate(translated, 45)
scaled = scale(rotated, 1.5, 0.5)

# Plotting
plt.figure(figsize=(6, 6))
plt.plot(polygon[:, 0], polygon[:, 1], 'bo-', label='Original')
plt.plot(translated[:, 0], translated[:, 1], 'go-', label='Translated')
plt.plot(rotated[:, 0], rotated[:, 1], 'ro-', label='Rotated')
plt.plot(scaled[:, 0], scaled[:, 1], 'mo-', label='Scaled')
plt.legend()
plt.axis('equal')
plt.title('Combining Translation, Rotation, and Scaling')
plt.show()

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Seção 2. Capítulo 7

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