Funções Transcendentais

Tipos e Comportamentos

1. Função Exponencial

Forma:

• $a$: amplitude, escala a curva verticalmente;
• $b$: taxa de crescimento ou decaimento, define a rapidez com que a função aumenta ou diminui;
• $c$: deslocamento horizontal, move a curva para a esquerda ou direita;
• $d$: deslocamento vertical, move o gráfico para cima ou para baixo.

Comportamento:

• Aumenta rapidamente quando $b > 0$;
• Diminui em direção a zero quando $b < 0$;
• Sempre positiva para todo $x$;
• Passa pelo ponto $(c, a + d)$;
• Domínio: $(-\infty, \infty)$;
• Imagem: $(d, \infty)$ se $a > 0$, ou $(-\infty, d)$ se $a < 0$.

Exemplo de uso: modelagem de crescimento populacional, decaimento radioativo e juros compostos.

2. Função Logarítmica

Forma:

• $a$: amplitude, estica ou comprime a curva verticalmente;
• $b$: base, determina a taxa de crescimento ou decaimento;
• $c$: deslocamento horizontal, move o gráfico para a esquerda ou direita;
• $d$: deslocamento vertical, move o gráfico para cima ou para baixo.

Comportamento:

• Definida apenas para $x > c$;
• Aumenta lentamente à medida que $x$ cresce;
• Aproxima-se de menos infinito próximo a $x = c$;
• Passa pelo ponto $(c + 1, d)$;
• Domínio: $(c, \infty)$;
• Imagem: $(-\infty, \infty)$.

Exemplo de uso: medição de dados com variação multiplicativa, como pH, intensidade sonora ou magnitude de terremotos.

3. Função Trigonométrica

Forma:

onde $\text{trig}$ pode ser $\sin$, $\cos$ ou $\tan$.

• $a$: amplitude, controla a altura da onda;
• $b$: ciclos, define quantas oscilações ocorrem em um período;
• $c$: deslocamento horizontal, move a onda para a esquerda ou direita;
• $d$: deslocamento vertical, move o gráfico para cima ou para baixo.

Comportamento:

• Seno e cosseno: oscilam periodicamente entre $-a + d$ e $a + d$;
• Tangente: repete a cada $\pi$ e possui assíntotas verticais em $x = \frac{\raisebox{1pt}{$\pi$}}{\raisebox{-1pt}{$2b$}} + n\pi/b$;
• Todas são periódicas e contínuas dentro de seus domínios;
• Domínio e imagem:
  • $\sin(x), \cos(x)$: domínio $(-\infty, \infty)$, imagem $[d - a, d + a]$;
  • $\tan(x)$: domínio $\mathbb{R} \setminus \left\{ {\frac{\raisebox{1pt}{$\pi$}}{\raisebox{-1pt}{$2b$}} + n\pi/b} \right\}$, imagem $(-\infty, \infty)$.

Aplicação: modelagem de ciclos e oscilações em processamento de sinais, física e engenharia.