Aprenda Operações com Matrizes em Python | Fundamentos de Álgebra Linear

1. Adição e Subtração

Duas matrizes $A$ e $B$ com o mesmo formato podem ser somadas:


              123456789
            
import numpy as np

A = np.array([[1, 2],
              [5, 6]])
B = np.array([[3, 4],
              [7, 8]])

C = A + B  
print(f'C:\n{C}')    # C = [[4, 6], [12, 14]]

2. Regras de Multiplicação

A multiplicação de matrizes não é elemento a elemento.

Regra: se $A$ possui formato $(n, m)$ e $B$ possui formato $(m, l)$ , então o resultado terá formato $(n, l)$ .


              1234567891011121314151617181920
            
import numpy as np

# Example random matrix 3x2
A = np.array([[1, 2],
              [3, 4],
              [5, 6]])
print(f'A:\n{A}')

# Example random matrix 2x4 
B = np.array([[11, 12, 13, 14],
              [15, 16, 17, 18]])
print(f'B:\n{B}')

# product shape (3, 4)
product = np.dot(A, B)     
print(f'np.dot(A, B):\n{product}')

# or equivalently
product = A @ B
print(f'A @ B:\n{product}')

3. Transposta

A transposta inverte linhas e colunas.

Regra geral: se $A$ é $(n \times m)$ , então $A^T$ é $(m \times n)$ .


              1234567
            
import numpy as np

A = np.array([[1, 2, 3],
              [4, 5, 6]])

A_T = A.T  # Transpose of A
print(f'A_T:\n{A_T}')

4. Inversa de uma Matriz

Uma matriz $A$ possui uma inversa $A^{-1}$ se:

A \cdot A^{-1} = I

Onde $I$ é a matriz identidade.

Nem todas as matrizes possuem inversa. Uma matriz deve ser quadrada e de posto completo.


              12345678910
            
import numpy as np

A = np.array([[1, 2],
              [3, 4]])

A_inv = np.linalg.inv(A)   # Inverse of A
print(f'A_inv:\n{A_inv}')

I = np.eye(2)              # Identity matrix 2x2
print(f'A x A_inv = I:\n{np.allclose(A @ A_inv, I)}')  # Check if product equals identity

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[[5 12]
 [21 32]]

[[19 22]
 [43 50]]

[[17 20]
 [39 46]]

[[6 8]
 [10 12]]

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Seção 4. Capítulo 4

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