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Please enable JavaScript in your browser settings or update your browser.Aprenda Introdução às Transformações de Matrizes | Fundamentos de Álgebra Linear
Matemática para Ciência de Dados

bookIntrodução às Transformações de Matrizes

Equações Matriciais

Uma equação matricial pode ser escrita como:

Ax⃗=b⃗A \vec{x} = \vec{b}

Onde:

  • AA é a matriz dos coeficientes;
  • x⃗\vec{x} é o vetor de variáveis;
  • b⃗\vec{b} é o vetor de constantes.

Representação Matricial de Sistemas Lineares

Considere o sistema linear:

2x+y=5x−y=12x + y = 5 \\ x - y = 1

Isso pode ser reescrito como:

[211−1][xy]=[51]\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix}

Desmembramento da Multiplicação de Matrizes

A multiplicação de uma matriz por um vetor representa uma combinação linear:

[abcd][xy]=[ax+bycx+dy]=x[ac]+y[bd]\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ax + by \\ cx + dy \end{bmatrix} = x \begin{bmatrix} a \\ c \end{bmatrix} + y\begin{bmatrix} b \\ d \end{bmatrix}

Sistema Exemplo em Forma Matricial

O sistema:

3x+2y=74x−y=53x + 2y = 7 \\ 4x - y = 5

Pode ser expresso como:

[324−1][xy]=[75]\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 4 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ 5 \end{bmatrix}

Matrizes como Transformações

Uma matriz transforma vetores no espaço.

Por exemplo:

A=[abcd],  v1⃗=[11],  v2⃗=[112]A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix},\ \ \vec{v_1} = \begin{bmatrix}1 \\ 1\end{bmatrix},\ \ \vec{v_2} = \begin{bmatrix}1 \\ \frac{1}{2}\end{bmatrix}

Esta matriz define como os eixos são transformados sob multiplicação.

Escalonamento com Matrizes

Para aplicar o escalonamento a um vetor, utilize:

S=[sx00sy]S = \begin{bmatrix} s_x & 0 \\ 0 & s_y \end{bmatrix}

Onde:

  • sxs_x - o fator de escala na direção x;
  • sys_y - o fator de escala na direção y.

Exemplo: escalonamento do ponto (2, 3) por 2:

S=[2002],v⃗=[23]S = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}, \quad \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}

Então:

Sv⃗=[46]S \vec{v} = \begin{bmatrix} 4 \\ 6 \end{bmatrix}

Rotação com Matrizes

Para rotacionar um vetor por um ângulo θ\theta em torno da origem:

R=[cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ]R = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}

Exemplo: rotacionar (2, 3) por 90°:

R=[cos⁡90º−sin⁡90ºsin⁡90ºcos⁡90º]=[0−110],v⃗=[23]R = \begin{bmatrix} \cos90º & -\sin90º \\ \sin90º & \cos90º \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \quad \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}

Então:

Rv⃗=[−32]R \vec{v} = \begin{bmatrix} -3 \\ 2 \end{bmatrix}

Reflexão sobre o eixo x

Matriz de reflexão:

M=[100−1],M = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix},

Usando v⃗=(2,3)\vec{v} = (2, 3):

Mv⃗=[2−3]M \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ -3 \end{bmatrix}

Transformação de Cisalhamento (cisalhamento na direção x)

O cisalhamento desloca um eixo com base no outro.

Para cisalhar na direção x:

M=[1k01]M = \begin{bmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

Se k=1.5k = 1.5 e v⃗=(2,3)\vec{v} = (2, 3):

Mv⃗=[6.53]M \vec{v} = \begin{bmatrix} 6.5 \\ 3 \end{bmatrix}

Transformação Identidade

A matriz identidade não realiza nenhuma transformação:

I=[1001]I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

Para qualquer vetor v⃗\vec{v}:

Iv⃗=v⃗I \vec{v} = \vec{v}
question mark

Qual é a forma matricial deste sistema de equações?

2x+y=5x−y=12x + y = 5 \\ x - y = 1

Select the correct answer

Tudo estava claro?

Como podemos melhorá-lo?

Obrigado pelo seu feedback!

Seção 4. Capítulo 5

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Can you explain how to solve a matrix equation for the variables?

What are some real-world applications of matrices and matrix transformations?

Can you show more examples of matrix transformations like rotation or scaling?

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Equações Matriciais

Uma equação matricial pode ser escrita como:

Ax⃗=b⃗A \vec{x} = \vec{b}

Onde:

  • AA é a matriz dos coeficientes;
  • x⃗\vec{x} é o vetor de variáveis;
  • b⃗\vec{b} é o vetor de constantes.

Representação Matricial de Sistemas Lineares

Considere o sistema linear:

2x+y=5x−y=12x + y = 5 \\ x - y = 1

Isso pode ser reescrito como:

[211−1][xy]=[51]\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix}

Desmembramento da Multiplicação de Matrizes

A multiplicação de uma matriz por um vetor representa uma combinação linear:

[abcd][xy]=[ax+bycx+dy]=x[ac]+y[bd]\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ax + by \\ cx + dy \end{bmatrix} = x \begin{bmatrix} a \\ c \end{bmatrix} + y\begin{bmatrix} b \\ d \end{bmatrix}

Sistema Exemplo em Forma Matricial

O sistema:

3x+2y=74x−y=53x + 2y = 7 \\ 4x - y = 5

Pode ser expresso como:

[324−1][xy]=[75]\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 4 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ 5 \end{bmatrix}

Matrizes como Transformações

Uma matriz transforma vetores no espaço.

Por exemplo:

A=[abcd],  v1⃗=[11],  v2⃗=[112]A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix},\ \ \vec{v_1} = \begin{bmatrix}1 \\ 1\end{bmatrix},\ \ \vec{v_2} = \begin{bmatrix}1 \\ \frac{1}{2}\end{bmatrix}

Esta matriz define como os eixos são transformados sob multiplicação.

Escalonamento com Matrizes

Para aplicar o escalonamento a um vetor, utilize:

S=[sx00sy]S = \begin{bmatrix} s_x & 0 \\ 0 & s_y \end{bmatrix}

Onde:

  • sxs_x - o fator de escala na direção x;
  • sys_y - o fator de escala na direção y.

Exemplo: escalonamento do ponto (2, 3) por 2:

S=[2002],v⃗=[23]S = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}, \quad \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}

Então:

Sv⃗=[46]S \vec{v} = \begin{bmatrix} 4 \\ 6 \end{bmatrix}

Rotação com Matrizes

Para rotacionar um vetor por um ângulo θ\theta em torno da origem:

R=[cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ]R = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}

Exemplo: rotacionar (2, 3) por 90°:

R=[cos⁡90º−sin⁡90ºsin⁡90ºcos⁡90º]=[0−110],v⃗=[23]R = \begin{bmatrix} \cos90º & -\sin90º \\ \sin90º & \cos90º \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \quad \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}

Então:

Rv⃗=[−32]R \vec{v} = \begin{bmatrix} -3 \\ 2 \end{bmatrix}

Reflexão sobre o eixo x

Matriz de reflexão:

M=[100−1],M = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix},

Usando v⃗=(2,3)\vec{v} = (2, 3):

Mv⃗=[2−3]M \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ -3 \end{bmatrix}

Transformação de Cisalhamento (cisalhamento na direção x)

O cisalhamento desloca um eixo com base no outro.

Para cisalhar na direção x:

M=[1k01]M = \begin{bmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

Se k=1.5k = 1.5 e v⃗=(2,3)\vec{v} = (2, 3):

Mv⃗=[6.53]M \vec{v} = \begin{bmatrix} 6.5 \\ 3 \end{bmatrix}

Transformação Identidade

A matriz identidade não realiza nenhuma transformação:

I=[1001]I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

Para qualquer vetor v⃗\vec{v}:

Iv⃗=v⃗I \vec{v} = \vec{v}
question mark

Qual é a forma matricial deste sistema de equações?

2x+y=5x−y=12x + y = 5 \\ x - y = 1

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Como podemos melhorá-lo?

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