O que são Autovetores e Autovalores?

Um autovetor é um vetor não nulo que apenas muda de magnitude quando uma matriz é aplicada a ele. O valor escalar correspondente que descreve essa mudança é o autovalor.

$$A\vec{v} = \lambda\vec{v}$$

Onde:

• $A$ é uma matriz quadrada;
• $\lambda$ é o autovalor;
• $\vec{v}$ é o autovetor.

Exemplo de Matriz e Configuração

Suponha:

$$A = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$$

Queremos encontrar valores de $\lambda$ e vetores $\vec{v}$ tais que:

$$A \vec{v} = \lambda \vec{v}$$

Equação Característica

Para encontrar $\lambda$, resolva a equação característica:

$$\det(A - \lambda I) = 0$$

Substitua:

$$\det \begin{bmatrix} 4-\lambda & 1 \\ 2 & 3-\lambda \end{bmatrix} = 0$$

Calcule o determinante:

$$(4-\lambda)(3-\lambda) - 2 = 0$$

Resolva:

$$\lambda^2 - 7\lambda + 10 = 0 \\ \lambda = 5, \; \lambda = 2$$

Encontrar Autovetores

Agora resolva para cada $\lambda$.

Para $\lambda = 5$:

Subtraia:

$$(A - 5I)\vec{v} = 0$$ $$\begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -2 \end{bmatrix} \vec{v} = 0$$

Resolva:

$$v_1 = v_2$$

Portanto:

$$\vec{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$$

Para $\lambda = 2$:

Subtraia:

$$(A - 2I)\vec{v} = 0$$ $$\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} \vec{v} = 0$$

Resolva:

$$v_1 = -\tfrac{1}{2} v_2$$

Portanto:

$$\vec{v} = \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix}$$

Confirmar o Par Autovalor-Autovetor

Após obter um autovalor $\lambda$ e um autovetor $\vec{v}$, verifique que:

$$A \vec{v} = \lambda \vec{v}$$

Exemplo:

$$A \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 5 \end{bmatrix} = 5 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$$

Exemplo:

$$\begin{bmatrix} 2 \\ 2 \end{bmatrix}$$

também é um autovetor para $\lambda = 5$.

Diagonalização (Avançado)

Se uma matriz $A$ possui $n$ autovetores linearmente independentes, então ela pode ser diagonalizada:

$$A = PDP^{-1}$$

Onde:

• $P$ é a matriz cujas colunas são os autovetores;
• $D$ é uma matriz diagonal de autovalores;
• $P^{-1}$ é a inversa de $P$.

É possível confirmar a diagonalização verificando $A = PDP^{-1}$.
Isto é útil para calcular potências de $A$:

Exemplo

Considere:

$$A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$$

Encontre os autovalores:

$$\det(A - \lambda I) = 0$$

Resolva:

$$\lambda = 3, \; \lambda = 2$$

Encontre os autovetores:

Para $\lambda = 3$:

$$\vec{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$$

Para $\lambda = 2$:

$$\vec{v} = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}$$

Construa $P, D$ e $P^{-1}$:

$$P = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad D = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}, \quad P^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

Calcule:

$$PDP^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = A$$

Confirmado.

Por que isso é importante:

Para calcular potências de $A$, como $A^k$. Como $D$ é diagonal:

$$A^k = P D^k P^{-1}$$

Isso torna o cálculo de potências de matrizes muito mais rápido.

Notas Importantes

• Autovalores e autovetores são direções que permanecem inalteradas sob transformação;
• $\lambda$ estica $\vec{v}$;
• $\lambda = 1$ mantém $\vec{v}$ inalterado em magnitude.