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Please enable JavaScript in your browser settings or update your browser.Aprenda Introdução aos Vetores | Fundamentos de Álgebra Linear
Matemática para Ciência de Dados

bookIntrodução aos Vetores

Note
Definição

Um vetor é um objeto matemático que representa tanto direção quanto magnitude no espaço. Em ciência de dados, vetores são utilizados para descrever pontos de dados, características e parâmetros de modelos, como pesos.

O Que É um Vetor?

Um vetor é um par ordenado de números com magnitude e direção.

v⃗=(x,y)\vec{v} = (x,y)

Vetores são frequentemente representados como setas a partir da origem até um ponto no espaço. Dois vetores são considerados iguais se possuem a mesma direção e comprimento, mesmo que comecem em locais diferentes.

O Vetor Nulo

O vetor nulo não possui comprimento nem direção. Ele é representado como:

0⃗=(0,0)\vec{0} = (0, 0)

Adição e Subtração de Vetores

Adição

Para somar dois vetores, some seus componentes correspondentes:

a⃗+b⃗=(a1+b1,  a2+b2)\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, \; a_2 + b_2)

Visualização possível com:

  • Método da ponta à cauda: mova a cauda de um vetor até a ponta do outro;
  • Método do paralelogramo: ambos os vetores partem do mesmo ponto e formam um paralelogramo.

Subtração

Para subtrair um vetor de outro:

a⃗−b⃗=(a1−b1,  a2−b2)\vec{a} - \vec{b} = (a_1 - b_1, \; a_2 - b_2)

O resultado é um novo vetor apontando da ponta do segundo para a ponta do primeiro.

Multiplicação por Escalar

Multiplicar um vetor por um número (um escalar) alonga ou inverte o vetor:

k⋅a⃗=(k⋅a1,  k⋅a2)k \cdot \vec{a} = (k \cdot a_1, \; k \cdot a_2)
  • Se k>1k > 1, o vetor é alongado na mesma direção;
  • Se 0<k<10 < k < 1, o vetor é reduzido;
  • Se k<0k < 0, inverte a direção;
  • Se k=0k = 0, torna-se o vetor nulo.

Magnitude do Vetor (Comprimento)

A magnitude ou comprimento de um vetor é calculado com o teorema de Pitágoras:

∣a⃗∣=a12+a22|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}

Isso fornece a distância em linha reta da origem até a extremidade do vetor.

O Produto Escalar

O produto escalar combina dois vetores em um único número que reflete o quanto eles estão alinhados:

a⃗⋅b⃗=a1b1+a2b2\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2
  • Se o resultado for positivo: os vetores apontam em direções semelhantes;
  • Se o resultado for zero: os vetores são perpendiculares;
  • Se o resultado for negativo: eles apontam em direções opostas.

Exemplo

Se a⃗=(1,2)  e  b⃗=(3,4) \vec{a} = (1, 2)\ \ \text{e}\ \ \vec{b} = (3, 4), então:

a⃗⋅b⃗=1⋅3+2⋅4=11\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 3 + 2 \cdot 4 = 11
question mark

Se a⃗=(1,0), b⃗=(0,1)\vec{a} = (1, 0),\ \vec{b} = (0, 1). Então o produto escalar deles é:

Select the correct answer

Tudo estava claro?

Como podemos melhorá-lo?

Obrigado pelo seu feedback!

Seção 4. Capítulo 1

Pergunte à IA

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Pergunte o que quiser ou experimente uma das perguntas sugeridas para iniciar nosso bate-papo

Suggested prompts:

Can you explain the difference between the head-to-tail and parallelogram methods for vector addition?

How do you find the magnitude of a vector using its components?

Can you give an example of vector subtraction with numbers?

Awesome!

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Definição

Um vetor é um objeto matemático que representa tanto direção quanto magnitude no espaço. Em ciência de dados, vetores são utilizados para descrever pontos de dados, características e parâmetros de modelos, como pesos.

O Que É um Vetor?

Um vetor é um par ordenado de números com magnitude e direção.

v⃗=(x,y)\vec{v} = (x,y)

Vetores são frequentemente representados como setas a partir da origem até um ponto no espaço. Dois vetores são considerados iguais se possuem a mesma direção e comprimento, mesmo que comecem em locais diferentes.

O Vetor Nulo

O vetor nulo não possui comprimento nem direção. Ele é representado como:

0⃗=(0,0)\vec{0} = (0, 0)

Adição e Subtração de Vetores

Adição

Para somar dois vetores, some seus componentes correspondentes:

a⃗+b⃗=(a1+b1,  a2+b2)\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, \; a_2 + b_2)

Visualização possível com:

  • Método da ponta à cauda: mova a cauda de um vetor até a ponta do outro;
  • Método do paralelogramo: ambos os vetores partem do mesmo ponto e formam um paralelogramo.

Subtração

Para subtrair um vetor de outro:

a⃗−b⃗=(a1−b1,  a2−b2)\vec{a} - \vec{b} = (a_1 - b_1, \; a_2 - b_2)

O resultado é um novo vetor apontando da ponta do segundo para a ponta do primeiro.

Multiplicação por Escalar

Multiplicar um vetor por um número (um escalar) alonga ou inverte o vetor:

k⋅a⃗=(k⋅a1,  k⋅a2)k \cdot \vec{a} = (k \cdot a_1, \; k \cdot a_2)
  • Se k>1k > 1, o vetor é alongado na mesma direção;
  • Se 0<k<10 < k < 1, o vetor é reduzido;
  • Se k<0k < 0, inverte a direção;
  • Se k=0k = 0, torna-se o vetor nulo.

Magnitude do Vetor (Comprimento)

A magnitude ou comprimento de um vetor é calculado com o teorema de Pitágoras:

∣a⃗∣=a12+a22|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}

Isso fornece a distância em linha reta da origem até a extremidade do vetor.

O Produto Escalar

O produto escalar combina dois vetores em um único número que reflete o quanto eles estão alinhados:

a⃗⋅b⃗=a1b1+a2b2\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2
  • Se o resultado for positivo: os vetores apontam em direções semelhantes;
  • Se o resultado for zero: os vetores são perpendiculares;
  • Se o resultado for negativo: eles apontam em direções opostas.

Exemplo

Se a⃗=(1,2)  e  b⃗=(3,4) \vec{a} = (1, 2)\ \ \text{e}\ \ \vec{b} = (3, 4), então:

a⃗⋅b⃗=1⋅3+2⋅4=11\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 3 + 2 \cdot 4 = 11
question mark

Se a⃗=(1,0), b⃗=(0,1)\vec{a} = (1, 0),\ \vec{b} = (0, 1). Então o produto escalar deles é:

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Seção 4. Capítulo 1
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