Aprenda Operações com Matrizes | Fundamentos de Álgebra Linear

Definição

Uma matriz é um arranjo retangular de números organizados em linhas e colunas, utilizado para representar e resolver problemas matemáticos de forma eficiente.

Antes de abordar sistemas lineares, como $A\vec{x} = \vec{b}$ , é fundamental compreender como as matrizes se comportam e quais operações podem ser realizadas com elas.

Adição de Matrizes

É possível somar duas matrizes apenas se elas possuírem o mesmo formato (mesmo número de linhas e colunas).

Considere:

A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{bmatrix}

Então:

A + B = \begin{bmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} \end{bmatrix}

Multiplicação por Escalar

Também é possível multiplicar uma matriz por um escalar (número único):

k \cdot A = \begin{bmatrix} k a_{11} & k a_{12} \\ k a_{21} & k a_{22} \end{bmatrix}

Multiplicação de Matrizes e Compatibilidade de Tamanhos

A multiplicação de matrizes é uma operação linha por coluna, não elemento a elemento.

Regra: se a matriz $A$ possui dimensão $(m \times n)$ e a matriz $B$ possui dimensão $(n \times p)$ , então:

A multiplicação $AB$ é válida;
O resultado será uma matriz de dimensão $(m \times p)$ .

Exemplo:

Seja:

A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \ \ B = \begin{bmatrix} 5 \\ 6 \end{bmatrix}

$A$ é $(2 \times 2)$ e $B$ é $(2 \times 1)$ , então $AB$ é válido e resulta em uma matriz $(2 \times 1)$ :

A \cdot B = \begin{bmatrix} 1 \cdot 5 + 2 \cdot 6 \\ 3 \cdot 5 + 4 \cdot 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 17 \\ 39 \end{bmatrix}

Transposta de uma Matriz

A transposta de uma matriz inverte linhas e colunas. É denotada como $A^T$ .

Seja:

A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}

Então:

A^T = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}

Propriedades:

$(A^T)^T = A$ ;
$(A + B)^T = A^T + B^T$ ;
$(AB)^T = B^T A^T$ .

Determinante de uma Matriz

Matriz 2×2

Para:

A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}

O determinante é:

\det(A) = ad - bc

Matriz 3×3

Para:

A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}

O determinante é:

\det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)

Este método é chamado de expansão por cofatores.

Matrizes maiores (4×4 ou mais) podem ser expandidas recursivamente.
O determinante é útil porque indica se uma matriz possui inversa (determinante diferente de zero).

Inversa de uma Matriz

A inversa de uma matriz quadrada $A$ é denotada como $A^{-1}$ . Ela satisfaz $A \cdot A^{-1} = I$ , onde $I$ é a matriz identidade.

Apenas matrizes quadradas com determinante diferente de zero possuem inversa.

Exemplo:

Se a matriz A é:

A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}

Então sua matriz inversa $A^{-1}$ é:

A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}

Onde $\det(A) \neq 0$ .

Tudo estava claro?

Obrigado pelo seu feedback!

Seção 4. Capítulo 3

Pergunte à IA

Pergunte o que quiser ou experimente uma das perguntas sugeridas para iniciar nosso bate-papo

Awesome!

Completion rate improved to 1.96

Deslize para mostrar o menu

Definição

Uma matriz é um arranjo retangular de números organizados em linhas e colunas, utilizado para representar e resolver problemas matemáticos de forma eficiente.

Antes de abordar sistemas lineares, como $A\vec{x} = \vec{b}$ , é fundamental compreender como as matrizes se comportam e quais operações podem ser realizadas com elas.

Adição de Matrizes

É possível somar duas matrizes apenas se elas possuírem o mesmo formato (mesmo número de linhas e colunas).

Considere:

A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{bmatrix}

Então:

A + B = \begin{bmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} \end{bmatrix}

Multiplicação por Escalar

Também é possível multiplicar uma matriz por um escalar (número único):

k \cdot A = \begin{bmatrix} k a_{11} & k a_{12} \\ k a_{21} & k a_{22} \end{bmatrix}

Multiplicação de Matrizes e Compatibilidade de Tamanhos

A multiplicação de matrizes é uma operação linha por coluna, não elemento a elemento.

Regra: se a matriz $A$ possui dimensão $(m \times n)$ e a matriz $B$ possui dimensão $(n \times p)$ , então:

A multiplicação $AB$ é válida;
O resultado será uma matriz de dimensão $(m \times p)$ .

Exemplo:

Seja:

A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \ \ B = \begin{bmatrix} 5 \\ 6 \end{bmatrix}

$A$ é $(2 \times 2)$ e $B$ é $(2 \times 1)$ , então $AB$ é válido e resulta em uma matriz $(2 \times 1)$ :

A \cdot B = \begin{bmatrix} 1 \cdot 5 + 2 \cdot 6 \\ 3 \cdot 5 + 4 \cdot 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 17 \\ 39 \end{bmatrix}

Transposta de uma Matriz

A transposta de uma matriz inverte linhas e colunas. É denotada como $A^T$ .

Seja:

A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}

Então:

A^T = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}

Propriedades:

$(A^T)^T = A$ ;
$(A + B)^T = A^T + B^T$ ;
$(AB)^T = B^T A^T$ .

Determinante de uma Matriz

Matriz 2×2

Para:

A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}

O determinante é:

\det(A) = ad - bc

Matriz 3×3

Para:

A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}

O determinante é:

\det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)

Este método é chamado de expansão por cofatores.

Matrizes maiores (4×4 ou mais) podem ser expandidas recursivamente.
O determinante é útil porque indica se uma matriz possui inversa (determinante diferente de zero).

Inversa de uma Matriz

A inversa de uma matriz quadrada $A$ é denotada como $A^{-1}$ . Ela satisfaz $A \cdot A^{-1} = I$ , onde $I$ é a matriz identidade.

Apenas matrizes quadradas com determinante diferente de zero possuem inversa.

Exemplo:

Se a matriz A é:

A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}

Então sua matriz inversa $A^{-1}$ é:

A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}

Onde $\det(A) \neq 0$ .

Tudo estava claro?

Obrigado pelo seu feedback!

Seção 4. Capítulo 3