Aprenda Implementação de Transformação de Matrizes em Python

Resolvendo um Sistema Linear

Definimos um sistema de equações:

2x + y = 5 \\ x - y = 1

Isto é reescrito como:


              123456789
            
import numpy as np

A = np.array([[2, 1],   # Coefficient matrix
              [1, -1]])

b = np.array([5, 1])    # Constants (RHS)

x_solution = np.linalg.solve(A, b)
print(x_solution)

Isso encontra os valores de $x$ e $y$ que satisfazem ambas as equações.

Importância: resolver sistemas de equações é fundamental em ciência de dados — desde o ajuste de modelos lineares até a resolução de restrições de otimização.

Aplicando Transformações Lineares

Definimos um vetor:

v = np.array([[2], [3]])

Em seguida, aplicamos duas transformações:

Escalonamento

Esticamos $x$ por 2 e comprimimos $y$ por 0,5:

S = np.array([[2, 0],
              [0, 0.5]])

scaled_v = S @ v

Isso realiza:

S \cdot v = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 1.5 \end{bmatrix}

Rotação

Rotacionamos o vetor $90°$ no sentido anti-horário usando a matriz de rotação:

theta = np.pi / 2
R = np.array([[np.cos(theta), -np.sin(theta)],
              [np.sin(theta),  np.cos(theta)]])

rotated_v = R @ v

Isso resulta em:

R \cdot v = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 \\ 2 \end{bmatrix}

Visualizando as Transformações

Utilizando matplotlib, plotamos cada vetor a partir da origem, com suas coordenadas rotuladas:


              1234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647
            
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Define original vector
v = np.array([[2], [3]])

# Scaling
S = np.array([[2, 0],
              [0, 0.5]])
scaled_v = S @ v

# Rotation
theta = np.pi / 2
R = np.array([[np.cos(theta), -np.sin(theta)],
              [np.sin(theta),  np.cos(theta)]])
rotated_v = R @ v

# Vizualization
origin = np.zeros(2)
fig, ax = plt.subplots(figsize=(6, 6))

# Plot original
ax.quiver(*origin, v[0], v[1], angles='xy', scale_units='xy', scale=1, color='blue', label='Original')

# Plot scaled
ax.quiver(*origin, scaled_v[0], scaled_v[1], angles='xy', scale_units='xy', scale=1, color='green', label='Scaled')

# Plot rotated
ax.quiver(*origin, rotated_v[0], rotated_v[1], angles='xy', scale_units='xy', scale=1, color='red', label='Rotated')

# Label vector tips
ax.text(v[0][0]+0.2, v[1][0]+0.2, "(2, 3)", color='blue')
ax.text(scaled_v[0][0]+0.2, scaled_v[1][0]+0.2, "(4, 1.5)", color='green')
ax.text(rotated_v[0][0]-0.6, rotated_v[1][0]+0.2, "(-3, 2)", color='red')

# Draw coordinate axes
ax.annotate("", xy=(5, 0), xytext=(0, 0), arrowprops=dict(arrowstyle="->", linewidth=1.5))
ax.annotate("", xy=(0, 5), xytext=(0, 0), arrowprops=dict(arrowstyle="->", linewidth=1.5))
ax.text(5.2, 0, "X", fontsize=12)
ax.text(0, 5.2, "Y", fontsize=12)

ax.set_xlim(-5, 5)
ax.set_ylim(-5, 5)
ax.set_aspect('equal')
ax.grid(True)
ax.legend()
plt.show()

Por que isso é importante: fluxos de trabalho em ciência de dados frequentemente incluem transformações, por exemplo:

Análise de Componentes Principais - rotaciona os dados;
Normalização de características - escala os eixos;
Redução de dimensionalidade - projeções.

Ao visualizar vetores e suas transformações, é possível observar como as matrizes literalmente movem e remodelam os dados no espaço.

Tudo estava claro?

Obrigado pelo seu feedback!

Seção 4. Capítulo 6

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Suggested prompts:

Can you explain how the solution to the system of equations is calculated?

How does the scaling and rotation transformation affect the original vector?

Can you walk me through the visualization code and what each part does?

Awesome!

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