Summary  
This chapter demonstrates how to decompose a matrix into lower and upper triangular factors (LU) and into orthogonal and upper triangular factors (QR) using Python libraries, then verifies each decomposition by reconstructing the original matrix.

General domain of usage  
Numerical linear algebra

Técnicas de Decomposição de Matrizes são ferramentas essenciais na álgebra linear numérica, fundamentais para soluções de sistemas de equações, análise de estabilidade e inversão de matrizes.

## Realização da Decomposição LU

**Decomposição LU** divide uma matriz em:

* `L`: triangular inferior;
* `U`: triangular superior;
* `P`: matriz de permutação para considerar trocas de linhas.

import numpy as np
from scipy.linalg import lu

# Define a 2x2 matrix A
A = np.array([[6, 3],
              [4, 3]])

# Perform LU decomposition: P, L, U such that P @ A = L @ U
P, L, U = lu(A)

# Verify that P @ A equals L @ U by reconstructing A from L and U
print(f'L * U:\n{np.dot(L, U)}')

**Por que isso é importante**: A decomposição LU é amplamente utilizada em métodos numéricos para resolver sistemas lineares e inverter matrizes de forma eficiente.

## Realizando a Decomposição QR

A decomposição QR fatoriza uma matriz em:

* `Q`: Matriz ortogonal (preserva ângulos/comprimentos);
* `R`: Matriz triangular superior.

import numpy as np
from scipy.linalg import qr

# Define a 2x2 matrix A
A = np.array([[4, 3],
              [6, 3]])

# Perform QR decomposition: Q (orthogonal), R (upper triangular)
Q, R = qr(A)

# Verify that Q @ R equals A by reconstructing A from Q and R
print(f'Q * R:\n{np.dot(Q, R)}')

**Por que isso é importante**: QR é comumente utilizado para resolver problemas de mínimos quadrados e é mais estável numericamente do que LU em alguns cenários.

Qual é o papel da matriz de permutação `P` na **decomposição LU**?

Suponha que seja necessário resolver o sistema $$A·x = b$$ utilizando **decomposição QR**. Qual ajuste de código seria necessário?

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Implementação da Decomposição de Matrizes em Python

Realização da Decomposição LU

Realizando a Decomposição QR

1. Qual é o papel da matriz de permutação `P` na decomposição LU?

2. Suponha que seja necessário resolver o sistema $A·x = b$ utilizando decomposição QR. Qual ajuste de código seria necessário?

Implementação da Decomposição de Matrizes em Python

Realização da Decomposição LU

Realizando a Decomposição QR

1. Qual é o papel da matriz de permutação P na decomposição LU?

2. Suponha que seja necessário resolver o sistema A⋅x=bA·x = bA⋅x=b utilizando decomposição QR. Qual ajuste de código seria necessário?

1. Qual é o papel da matriz de permutação `P` na decomposição LU?

2. Suponha que seja necessário resolver o sistema $A·x = b$ utilizando decomposição QR. Qual ajuste de código seria necessário?